
\documentclass[a4paper, 12pt, jpgfig]{report}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T1, T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
%\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts, amssymb, longtable}
\usepackage{caption}
\usepackage{graphicx}



\usepackage{float}
\usepackage[clearempty]{titlesec}
\usepackage{titletoc}
\usepackage{lipsum} 
%\addto\captionsenglish{ \renewcommand*\contentsname{\centerline{Table of contents}}}

%\titleformat{\section}[display]%
%{\null\vskip1em\sffamily\bfseries\Large\filcenter}{Глава \thechapter}{2ex}{\LARGE}[]
%\titleformat{name = \section, numberless}[block]%
%{\null\vskip1em\sffamily\bfseries\Large\filcenter}{}{0em}{\LARGE}
%\titlespacing*{\section}{0em}{-2\baselineskip}{6\baselineskip}
\titlecontents{section}
[5.5em] % ie, width of contentslabel + 0.5em
{\bigskip}
{\contentslabel[\chaptername~\thecontentslabel]{5.0em}}%\thecontentslabel
{\hspace*{-6.5em}}
{\hfill\contentspage}[\medskip]

%\usepackage{titlesec}
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}

\newcounter{s}
\newcommand{\eqdef}{\stackrel{def}{=}}
\newcommand{\otimesa}{\stackrel{a}{\otimes}}
\newcommand{\otimess}{\stackrel{s}{\otimes}}
\newcommand{\equivd}{\stackrel{\delta_{M}}{\equiv}}
\def\ds{\displaystyle}
\renewcommand{\thefigure}{\arabic{section}.\arabic{figure}.}
\sloppy
%\DeclareGraphicsExtensions{.pdf, .png, .jpg}
%К электродинамике взаимодействия и излучения движущихся электрически заряженных частиц.
%On the electrodynamics of interaction and radiation of moving electrically charged particles.

\begin{document}

\title{\bf To the electrodynamics of radiation  electrically of  charged particles.}
\author{Yu. A. Alebastrov \thanks{jalebastrov@gmail.com} \\
141980, Dubna }
\date{7.03.2016}
\maketitle
\renewcommand{\abstractname}{Abstract}

\begin{abstract}

Development of the theory of the real  vector field, discussed in the works~\cite{Al1}\, --\, \cite{Al9}, continues.

Within the Lienard\, --\, Wichert potentials, field and dynamic variables of the wave electrojeitonic field generated by a point electrically charged particle are calculated.

Relations determining the angular distributions of the instantaneous powers of electrojeitonic radiation of such a particle during its arbitrary motion are obtained.

The existence of the phenomenon of dominance of longitudinal electrojeitonic radiation of relativistic electrically charged particles is predicted.

Keywords: electrojeitonic field, longitudinal electrojeitonic waves, electrojeitonic radiation.

\end{abstract}

\maketitle
\renewcommand{\abstractname}{Аннотация}

\begin{abstract}

Продолжается исследование теории действительного векторного поля, обсуждаемой в работах~\cite{Al1}\, --\, \cite{Al9}.

В рамках потенциалов Лиенара\, --\, Вихерта вычислены  полевые и динамические переменные волнового  электроджейтонного поля, генерируемого  точечной электрически заряженной частицей.

Получены соотношения, определяющие  угловые распределения мгновенных мощностей  электроджейтонного излучения такой частицы при её произвольном движении.

Предсказано существование  явления доминантности продольного электроджейтонного излучения ультрарелятивистских электрически заряженных частиц. 	

Ключевые слова:  электроджейтонное  поле, продольные электроджейтонные волны, электроджейтонное излучение.

\end{abstract}

\tableofcontents
\renewcommand{\contentsname}{Оглавление}


%\eqdef
%\sc
% \sl
%\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}

%I
\section{Электроджейтонное поле и его полевые и динамические переменные}

%1
\subsection*{\S \, 1. Общая аксиоматика}

\addcontentsline{toc}{subsection}{\S\, 1. Общая аксиоматика}

\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}

\qquad Теория векторного поля с симметрическими аффинорами, обсуждаемая в                              ~\cite{Al1}\, --\, \cite{Al9}, исходя из математического равноправия и самостоятельности производных тензоров векторного поля $\mathit A(x)$, 
$$
F(x)={\widetilde{rot} }\, A(x) \, ,                    \eqno (1.1)
$$
$$
G(x)={\widetilde{def}}\, A(x)\, ,                            \eqno (1.2)
$$
в которых 4\, -\, тензорные дифференциальные операторы $\widetilde{rot}$ и~$\widetilde{def} $ представлены   соотношениями
$$
\widetilde{rot}\, \eqdef \, \partial\, \overset{a}{\otimes}\, ,              \eqno (1.3)
$$
$$
\widetilde{def}\, \eqdef \, \partial\, \overset{s}{\otimes}\, ,                  \eqno (1.4)
$$
рассматривает поле, определяемое симметрическим производным 4\, -\, тензором 4\, -\, потенциала классической электродинамики, как самостоятельное и~равноправное, по отношению к~электромагнитному полю, {\em физическое \, } поле, названное {\em электроджейтонным} полем.

В данной теории электромагнитное поле представлено 4\, -\, тензором $ \mathit F(x)$, определенным  соотношением~(1.1), в котором $ \mathit A(x)$~-- традиционный 4\, -\, потенциал классической электродинамики.

Электроджейтонное поле ассоциировано, соответственно, с~4\, -\, ~тензором $\mathit G(x)$, определенным  соотношением~(1.2).

%Как и в  \cite{Al0}, следуя традиционному изложению классической теории поля~\cite{La}, обсуждаемая
%модель электродинамики  рассматривается в~рамках "электродинамики вакуума и точечных электрических зарядов"\, , а используемая система единиц, в большинстве разделов данного контекста, на этот раз  соответствует~\cite{La}.

Физическая реальность как классического электромагнитного поля, так и классического электроджейтонного поля определяется, прежде всего, как непосредственным, так и опосредованным силовым воздействием составляющих этих полей на электрически заряженные частицы.

Опосредованное силовое воздействие {\em на системы\, } электрически заряженных частиц {\em джейтонной\, } составляющей электроджейтонного поля (джейтонного поля), представленной (представленного), 
согласно (1.2), 3\, -\, тензором
$$
\mathcal{G}(x) = \tilde{def}\, \vec{A}(x)\, ,                       \eqno (1.5)
$$
где $  \tilde{def} $ -- дифференциальный оператор, определенный соотношением~\cite{Pob}
$$
\tilde{def} \eqdef \vec{\bigtriangledown}\, \overset{s}{\otimes}\, ,                \eqno (1.6)
$$
осуществляется посредством порождаемых ей (им) {\em деформирующих} электрических полей, рассмотренных в \cite{Al0}.

Как и в \cite{Al0}, в целях сопоставления свойств джейтонной составляющей электроджейтонного поля и свойств магнитной составляющей электромагнитного поля, будем одновременно рассматривать обе эти составляющие, представляя последнюю, в соответствии с (1.1), 3\, -\, тензором
$$
\mathcal{F}(x) = \tilde{rot}\, \vec{A}(x)\, ,                       \eqno (1.7)
$$
в котором $ \tilde{rot} $ --- дифференциальный оператор, определенный соотношением
$$
\tilde{rot} \eqdef {\vec\bigtriangledown}\, \overset{a}{\otimes}.               \eqno (1.8)
$$

В соответствии с взаимно однозначным разложением любого тензора второго ранга на девиатор и шаровой тензор (дилататор), тензор джейтонного поля, $\mathcal{G}(x) $, имеет, в~общем случае, две, линейно независимые как по отношению к друг другу, так и~к~тензору~${\mathcal F}(x)$, составляющие \cite{Al0}
$$
\mathcal{G}_{d}(x) = \tilde{def}_{d}\, \vec{A}(x)\, ,               \eqno (1.9)
$$
$$
\mathcal{G}_{\ast}(x) = \tilde{def}_{\ast}\, \vec{A}(x)\, ,               \eqno (1.10)
$$
$$
\tilde{def}_{d} \eqdef  \vec{\bigtriangledown} \overset{s}{\otimes} - \frac{g}{tr g}\, \vec{\bigtriangledown}\, \cdot\, ,   \eqno (1.11)
$$
$$
\tilde{def}_{\ast} \eqdef  \frac{g}{tr g}\, \vec{\bigtriangledown}\, \cdot ,  \qquad  g = \vec{e}_{\alpha}\otimes\vec{e}\, ^{\alpha}, \qquad tr g = g\cdot\cdot g\, .                     \eqno (1.12)
$$

Поля, представленные этими составляющими, названы {\em девиатационным джейтонным\, } полем и {\em  дилатационным джейтонным\, } полем, соответственно.

Как и в \cite{Al0}, в данном контексте тензор рассматривается как инвариантный, по классу допустимых преобразований координат  пассивного типа, объект, представляемый различными наборами компонент в различных системах отсчета \cite[\S16.1.]{Ko}.

Термин "векторное поле"\, используется всюду в рассматриваемой теории исключительно в математическом аспекте.

Производный 3\, -\, тензор второго ранга (производный аффинор векторного поля $\vec {A}(x)$ \cite[\S11.]{Rash}, градиент или локальный аффинор векторного поля $\vec {A}(x)$ \cite[\S16.]{Ko})
$$
\partial A(x) \eqdef \vec{\bigtriangledown} \otimes \vec{A} (x)\, ,          \eqno (1.13)
$$
линейно независимыми составляющими которого являются обсуждаемые тензоры, $ \mathcal{ F}(x)$, 
$ \mathcal{G}_{d}(x)$ и   $ \mathcal{G}_{\ast}(x)$, представляет собой  "меру неоднородности" \, \cite{Bor} векторного поля
$\vec {A}(x)$ в некоторый фиксированный момент времени~$t$, в бесконечно малой окрестности
точки~$  \mathit M$,  $\delta_{ M}$, то есть, данный тензор определяет, в линейном приближении, соответствующее состояние векторного поля $\vec {A}(x)$  в  $ \delta_{  \mathit M}$~\cite{BSh}.

Это состояние, в силу соотношения \cite{Al0}, 
$$
\vec{ \mathit A}_{\mathit \partial A}(N)=\partial A( \mathit M)^T\! \cdot \vec{\rho}\, ( \mathit N),    \quad    \mathit N \in \delta_{ \mathit M}\, ,   \eqno (1.14)
$$
рассматриваемого как отображение $V\otimes V\mapsto V$, геометрически представляется векторным полем, конгруэнция векторных линий которого определяется фазовым портретом динамической системы
$$
\frac{d\, \vec{ r}}{d\, \tau}=\partial A( \mathit  M)^T\!\cdot\, {\vec r}\, .               \eqno (1.15)
$$

Данную {\em конгруэнцию\, } предложено  рассматривать  в качестве геометрического образа производного
тензора $\partial A(x)$ и именовать {\em фазовым портретом\, } этого тензора \cite{Al0}.

Используя такой подход к получению геометрических образов рассматриваемых тензоров второго ранга в  \cite{Al0} определены соответствующие геометрические образы тензоров~${\mathcal F}(x)$, $\mathcal G_d(x)$, и  $\mathcal G_*(x)$, представленные на рис.\, 1.1.

Как и в \cite{Al0}, точка $M$ одновременно рассматривается в качестве начала системы координат, 
в связи с чем, в соответствующих формулах будем часто использовать равенство $\vec{\rho}(N)=\vec{r}(N)$.
\\

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=127mm]{ale_5_1_1.pdf}
\vspace{+2pt}
\caption{Фазовые портреты тензоров ${\mathcal F}(M)$, ${\mathcal G}_d(M)$ и ${\mathcal G}_*(M)$ в евклидовом пространстве~$E^2$, представленные, соответственно, классическим центром, седлом и дикритическим (звездным) узлом (аттрактором, при $div\, {\vec A}(M)>0$, и репеллером, при $div\, {\vec A}(M)<0$).}
\end{center}
\vspace{-5mm}
\end{figure}

Следуя \cite{Arn}, центром, седлом и узлом называем {\em фазовые портреты\, } соответствующих динамических систем, а соответствующие особые точки~--- особыми точками центра, седла и узла, соответственно.

Данные геометрические образы прежде всего {\em наглядно\, } демонстрируют как {\em принципиальное\, } различие тензоров~${\mathcal F}(x)$, $\mathcal G_d(x)$, и $\mathcal G_*(x)$, так и~их линейную независимость по отношению к друг другу.

С другой стороны видим, что {\em каждый\, } из этих тензоров определяет  {\em свое\, }, топологически неэквивалентное остальным, состояние векторного поля~$\vec{\mathit A}(x)$  в~$ \delta_{\mathit M}$, в данный момент времени~$t$.

В силу этого и в соответствии с рассматриваемым взаимно однозначным 3\, -\, инвариантным представлением
$$
\partial A(\mathit M)=\mathcal {F}( \mathit M)+ \mathcal G_d (\mathit M)+ \mathcal G_*( \mathit M)\, , 
                                                                                          \eqno (1.16)
$$
находим, что каждый из тензоров, $ \mathcal F(x)$, $\mathcal G_d(x)$, $ \mathcal G_*(x)$, дает свой, линейно независимый вклад в общую структуру (в общее состояние) векторного поля $\vec{ A}(x)$, в~$ \delta_{\mathit M}$, в данный момент времени~$t$, определяемую (определяемое) производным тензором $\partial \mathit A(x)$ в этот момент времени, в данной~$ \delta_{\mathit M}$, что, в свою очередь, также демонстрирует соответствующую математическую самостоятельность и равноправие данных тензоров по отношению к друг  другу.

Примеры как раздельного, так и совместного существования состояний векторного поля~$\vec {A}(x)$, представленных  на рис.\, 1.1, рассмотрены в \cite{Al0} для случаев {\em фундаментальных физических\, } полевых систем.

Напряженность электрической составляющей электромагнитного поля, представленного 4\, -\, тензором (1.1), 
определяется, согласно \cite{La}, полярным 3\, -\, вектором
$$
\vec{E}_{\mathcal F}(x):= F_{0\alpha}(x)\, \vec{e}\, \, ^{\alpha}\, .                 \eqno (1.17)
$$

Последующая подстановка значений 
$$
A_{i}(x)=\, (\varphi(x), -\, \vec{A}(x))                \eqno (1.18)
$$
в соотношение
$$
F_{0\alpha}(x)\, =\, \frac{1}{2}\, (\partial_{0}{A}_{\alpha}(x)-\partial_{\alpha}A_{0}(x))    \eqno (1.19)
$$
приводит к следующему представлению рассматриваемой напряженности электрического поля, сопровождающего рассматриваемое магнитное поле, 
$$
\vec{E}_{\mathcal F}(x)= -\, \frac{1}{2}\, (\partial_{0}\vec{A}(x)+\, \vec{\bigtriangledown}\varphi(x))
:=\, \frac{1}{2}\, (\vec{E}_{A}(x)+\, \vec{E}_{\varphi}(x))\, .                  \eqno (1.20)
$$

Знак "\, +\, "\, в скобке правой части (1.20), как видим, обусловлен  антисимметричностью 4\, -\, тензора (1.1), которая является лоренц~-~инвариантным свойством данного тензора, вследствие чего магнитное поле, представленное 3\, -\, тензором $\mathcal F(x)$, сопровождается, в общем случае, электрическим полем, напряженность которого \, определяется лоренц~-~ковариантным  соотношением (1.20).

Напряженность электрической составляющей элеткроджейтонного поля, представленного
4\, -\, тензором (1.2), определим, по аналогии с (1.17), полярным 3\, -\, вектором
$$
\vec{E}_{\mathcal G}(x):= G_{0\alpha}(x)\, \vec{e}\, \, ^{\alpha}\, .                 \eqno (1.21)
$$

Последующая подстановка значений (1.18) в соотношение
$$
G_{0\alpha}(x)\, =\, \frac{1}{2}\, (\partial_{0}{A}_{\alpha}(x)+\partial_{\alpha}A_{0}(x))    \eqno (1.22)
$$
приводит к следующему представлению рассматриваемой напряженности электрического поля, сопровождающего рассматриваемое джейтонное поле \cite{Al0}, 
$$
\vec{E}_{\mathcal G}(x)= -\, \frac{1}{2}\, (\partial_{0}\vec{A}(x)-\, \vec{\bigtriangledown}\varphi(x))
=\, \frac{1}{2}\, (\vec{E}_{A}(x)-\, \vec{E}_{\varphi}(x))\, .                  \eqno (1.23)
$$

Знак "\, --\, "\, в скобке правой части (1.23), как видим, обусловлен  симметричностью 4\, -\, тензора (1.2), которая является лоренц~-~инвариантным свойством данного тензора, вследствие чего джейтонное поле, представленное 3\, -\, тензором $\mathcal G(x)$, сопровождается, в общем случае, электрическим полем, напряженность которого определяется лоренц~-~ковариантным  соотношением (1.23).

Как и в \cite{La1}, перечисляя ковариантные компоненты 4\, -\, тензора (1.1), будем записывать их
в виде
$$
F_{ik}(x)=\, (\vec{E}_{\mathcal F}(x), -\mathcal F(x))\, .       \eqno (1.24)
$$

В силу известного соотношения, определяющего псевдовектор $\vec{\mathcal H}(x)$, 
сопровождающий  3\, -\, тензор $\mathcal F(x)$  в трехмерном пространстве $E^{\, 3}$, 
$$
\vec{\mathcal H}(x)=\, -\, \frac{1}{2}\, \, \varepsilon\, \cdot\cdot\, \mathcal F(x),     \eqno (1.25)
$$
(1.24) можно представлять так же в виде \cite{La1}
$$
F_{ik}(x)=\, (\vec{E}_{\mathcal F}(x), \vec{\mathcal H}(x))\, ,      \eqno (1.26)
$$
показывая, что ковариантные компоненты 4\, -\, тензора электромагнитного поля (1.1), являются
соответствующими компонентами соответствующих напряженностей электрического и магнитного полей, 
определенных равенствами (1.20) и (1.25).

Аналогично, перечисляя ковариантные компоненты 4\, -\, тензора (1.2), будем записывать их
в виде, идентичном (1.24), 
$$
G_{ik}(x)=\, (\vec{E}_{\mathcal G}(x), -\mathcal G(x))\, .       \eqno (1.27)
$$

В \cite{Al0} получены соотношения для полевых и динамических переменных электроджейтонного поля
на классе электродинамических 4\, -\, потенциалов $A(x)$, удовлетворяющих известной системе дифференциальных уравнений
$$
\partial\cdot\partial A(x)=\, j(x)\, ,           \eqno (1.28)
$$
$$
\partial\cdot A(x)\, =\, 0\, ,                       \eqno (1.29)
$$
в которой символом $\partial A(x):=\partial\otimes A(x)$ обозначен 4\, -\, градиент 4\, -\, потенциала
$A(x)$, линейно независимыми составляющими которого являются 4\, -\, тензоры (1.1) и (1.2), а символом
$\partial := e^{\, \mu}\partial_{\mu}$ представлен дифференциальный оператор Гамильтона в псевдоевклидовом пространстве событий, используемый также в (1.3) и (1.4).

В целях упрощения записей мы используем один и тот же символ $\partial A(x)$ как для обозначения 4\, -\, тензора $\partial\otimes A(x)$, так и для обозначения 3\, -\, тензора $\vec{\bigtriangledown}\otimes \vec{A}(x)$.

В качестве базовой системы полевых уравнений, при получении вышеуказанных соотношений, была использована
система уравнений \cite{Al0}
$$
\partial\cdot G_{L}(x)=\, j(x)\, ,           \eqno (1.30)
$$
$$
\partial\cdot A(x)\, =\, 0\, ,                    \eqno (1.31)
$$
равносильная, как система уравнений для 4\, -\, потенциала $A(x)$, системе (1.28), \, (1.29) и позволяющая, 
тем самым, оставаться в рассматриваемом классе электродинамических потенциалов.

Уравнение (1.30) является релятивистской формой записи второй пары системы уравнений, представляющей соответствующие дифференциальные соотношения для напряженностей электроджейтонного поля \cite{Al0}.

Уместно вновь отметить так же, что данное уравнение может быть получено и в рамках использования традиционного лагранжева формализма, стартующего из лагранжиана $\mathfrak{L}_{G}(x)$ \cite[гл. V, (14.65). ]{Al0}, 
соответствующие уравнения Лагранжа\, --\, Эйлера для которого мгновенно приводят к (1.30).

В настоящей работе продолжается рассмотрение электроджейтонного излучения фундаментальных полевых источников, начатое в \cite{Al6} и \cite{Al0}.

При определении соотношений полевых переменных  поля излучения точечного электрического заряда, движущегося в вакууме по заданной траектории, 
действие оператора Гамильтона $\vec{\bigtriangledown}=\vec{e}^{\, \, \alpha}\partial_{\alpha}$ на потенциалы
Лиенара\, --\, Вихерта сводится к  действию  на эти потенциалы оператора $-\, \vec{n}\, \partial^{\, 0}$, то есть, при получении  таких соотношений можно осуществлять  замену \cite{Jack}
$$
\vec{\bigtriangledown}\, \longmapsto\, -\, \vec{n}\, \partial^{\, 0}\, ,         \eqno (1.32)
$$
в которой  $\vec{n}$\, --\, единичный вектор, направленный из точки нахождения данного заряда, в соответствующий запаздывающий момент времени, в точку наблюдения.

 Например, использование (1.32) в (1.5) и (1.7)  мгновенно приводит к следующим уравнениям связи полевых переменных $\mathcal{G}(x)$ и $\mathcal{F}(x)$ с $\vec{E}_{A}(x)$ в таком излучении
$$
\mathcal{G}(x)\, =\, \vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}_{A}(x)\, ,          \eqno (1.33)
$$
$$
\mathcal{F}(x)\, =\, \vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \vec{E}_{A}(x)\, .           \eqno (1.34)
$$

При определении соотношений полевых переменных {\em волновой} зоны излучения ограниченной {\em системы} электрических токов и зарядов, действие оператора Гамильтона на асимптотические выражения для потенциалов $\vec{A}(x)$ и $\varphi(x)$\, так же можно заменять действием, на такие выражения, дифференциального оператора $-\, \vec{n}\, \partial^{\, 0}$, в котором $\vec{n}$\, --\, единичный вектор, определяемый соотношением $\vec{n}=\vec{r}/r$, а $\vec{r}$\, --\, радиус-вектор точки наблюдения в системе координат, начало которой находится в любой точке "\, внутри\, "\, этой системы зарядов\, \cite{Med}, \, \cite{La}.

Выражение (1.23) для напряженности электрического поля, компоненты которой определены соответствующими ковариантными компонентами 4\, -\, тензора (1.2), "автоматически"\, получаются так же и в процессе непосредственного  перехода от системы уравнений (1.28), \, (1.29) к системе (1.30), \, (1.31) \cite{Al0}.

Покажем, что это важное соотношение можно получить так же и путем решения первого уравнения системы (IV) \cite[\S14, гл. V.]{Al0}, 
$$
\partial^{\, 0}\vec{E}_{\mathcal G}(x)+\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\, \mathcal G\, (x)=\vec{0}  \eqno (1.35)
$$
как дифференциального уравнения первого порядка для $\vec{E}_{\mathcal G}(x)$, считая известной (найденной тем или иным способом) полевую переменную $\mathcal G(x)$

3\, -\, тензор джейтонного поля, $\mathcal G(x)$, определенный соотношением (1.5), после использования
(1.13), представляется в виде
$$
\mathcal G(x)=\, \frac{1}{2}\, (\partial A(x)\, +\, \partial A(x)^{T})\, .              \eqno (1.36)
$$

В свою очередь, волновое уравнение для векторного потенциала $\vec{A}(x)$  можно представить, 
воспользовавшись соотношением 
$$
\bigtriangleup\, \vec{A}(x)\, =\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\, \partial A(x)\, ,       \eqno (1.37)
$$
в виде нижеследующего дифференциального уравнения первого порядка, выступающего в качестве дифференциального уравнения
связи волновых полевых переменных $\partial A(x)=\vec{\bigtriangledown}\otimes\vec{A}(x)$ и  $\vec{E}_{A}(x)=\, -\, \partial^{\, 0}\vec{A}(x)$\, , 
$$
\vec{\bigtriangledown}\cdot\, \partial A(x)\, =\, -\, \partial^{\, 0}\vec{E}_{A}(x)\, .    \eqno (1.38)
$$

С другой стороны, воспользовавшись соотношением
$$
\vec{\bigtriangledown}\cdot\, \partial A(x)^{T}\, =\, \vec{\bigtriangledown}\, div\, \vec{A}(x)   \eqno (1.39)
$$
и учтя, что для рассматриваемого далее поля излучения точечного электрического заряда выполняется соотношение Лоренца для потенциалов Лиенара -- Вихерта, $div\, \vec{A}(x)=-\partial^{\, 0}\varphi(x)$, приходим к следующему соотношению представляющему собой дифференциальное уравнение связи волновых полевых переменных 
$\partial A(x)^{T}$ и $\vec{E}_{\varphi}(x)=-\, \vec{\bigtriangledown}\, \varphi(x)$\, 
$$
\vec{\bigtriangledown}\cdot\partial A(x)^{T}\, =\, \partial^{\, 0}\vec{E}_{\varphi}(x)\, .   \eqno (1.40)
$$

В итоге, (1.36), совместно с (1.38) и (1.40), приводят к равенству
$$
\vec{\bigtriangledown}\cdot
\mathcal G(x)=\, -\, \frac{1}{2}\, \partial^{\, 0}(\vec{E}_{A}(x)\, -\, \vec{E}_{\varphi}(x))\, ,  \eqno (1.41)
$$
использование которого в (1.35) и последующее интегрирование по времени полученного соотношения приводит, с
точностью до постоянной данного интегрирования, к соотношению (1.23).

При этом так же уместно отметить, что знак "\, --\, "\, в скобках правой части (1.41) обусловлен симметричностью 3\, -\, тензора $\mathcal G(x)$.

Таким образом, напряженность $\vec{E}_{\mathcal G}(x)$ можно находить либо используя непосредственно
соотношение (1.23), когда несложно вычислить $\vec{E}_{A}(x)$  и $\vec{E}_{\varphi}(x)$, либо используя
уравнение (1.35), как дифференциальное уравнение первого порядка для $\vec{E}_{\mathcal G}(x)$, когда проще вычисляется $\vec{\bigtriangledown}\, \cdot\, \mathcal G(x)$.

Выражение (1.20) для напряженности электрического поля, компоненты которой определены соответствующими ковариантными компонентами 4\, -\, тензора (1.1), "автоматически"\, получаются так же и в процессе перехода от системы уравнений (1.28), \, (1.29) к общеизвестной, равносильной по отношению к $A(x)$, системе \cite{Al0}\, , 
$$
\partial\cdot F_{L}(x)=\, j(x)\, ,                                             \eqno (1.42)
$$
$$
\partial\cdot A(x)\, =\, 0\, .                                                  \eqno (1.43)
$$
\par\bigskip
Покажем, что соотношение (1.20) можно получить так же и путем решения первого  уравнения второй пары ситемы уравнений Максвелла вне источника поля, представленного в виде первого уравнения системы уравнений (I) \cite[ \S14, гл. V.]{Al0}
 $$
\partial^{\, 0}\vec{E}_{\mathcal F}(x)+\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal F\, (x)=\vec{0}\, , \eqno (1.44)
$$
как дифференциального уравнения первого порядка для $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$, считая известной (найденной тем или иным способом) волновую полевую переменную $\mathcal F(x)$.

3\, -\, тензор магнитного  поля, $\mathcal F(x)$, определенный соотношением (1.7), после использования
(1.13), представляется в виде
$$
\mathcal F(x)=\, \frac{1}{2}\, (\partial A(x)\, -\, \partial A(x)^{T})\, .              \eqno (1.45)
$$

В результате, (1.45), совместно с (1.38) и (1.40), на этот раз приводят к равенству
$$
\vec{\bigtriangledown}\cdot
\mathcal F(x)=\, -\, \frac{1}{2}\, \partial^{\, 0}(\vec{E}_{A}(x)\, +\, \vec{E}_{\varphi}(x))\, ,  \eqno (1.46)
$$
использование которого в (1.44) приводит к (1.20).

При этом так же уместно отметить, что знак "\, +\, "\, в скобках правой части (1.46)  обусловлен антисимметричностью 3\, -\, тензора $\mathcal F(x)$.

Таким образом, напряженность $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$ можно находить либо используя непосредственно
соотношение (1.20), когда несложно вычислить $\vec{E}_{A}(x)$  и $\vec{E}_{\varphi}(x)$ (например, при исследовании полей излучения точечного электрического заряда или при анализе излучения, обусловленного дипольным электрическим моментом электрической системы\, \cite[\S63, \S72.]{La}\, ), либо используя
уравнение (1.44) как дифференциальное уравнение первого порядка для $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$, когда проще вычисляется $\vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal F(x)$ (например, при вычислении напряженностей электрических полей излучения антенных систем\, \cite{Jack}, \, \cite{Eis}\, ).

Использование "правила дифференциирования запаздыающих потенциалов в волновой зоне"  \cite[\S17.3, ч. II.]{Med} в уравнениях (1.44)  и (1.35)
позволяет выразить и полевые переменные $ \vec{E}_{_{\mathfrak{\mathcal{F}}}}(x)$ и   $ \vec{E}_{_{\mathfrak{\mathcal{G}}}}(x)$ 
волновой зоны через  напряженность $\vec{E}_{_{\mathfrak{\mathcal{A}}}}(x)$. 

Действительно, использование (1.32) в (1.44) приводит к соотношению, последующее интегрирование по времени которого приводит, 
с точностью до "постоянной" данного интегрирования \cite[\S72]{La}, к уравнению алгебраической связи полевых переменных
 $ \vec{E}_{_{\mathfrak{\mathcal{F}}}}(x)$ и $\mathcal{F}(x)$ в волновой зоне, 
$$
\vec{E}_\mathcal{F}(x), =\, \vec{n}\cdot\mathcal{F}(x)\, ,                                                     \eqno (1.47)
$$
которое, после использования соотношения (1.34), принимает вид
$$
\vec{E}_\mathcal{F}(x)\, =\, \vec{n}\cdot (\vec{n}\overset{a}{\otimes}\vec{E}_{_{A}}(x))\, ,                  \eqno (1.48)
$$
а учет в (1.48) формулы векторного анализа, 
$$
\vec{a}\cdot(\vec{b}\overset{a}{\otimes}\vec{c})\, =\, -\frac{1}{2}\, \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})\, ,            \eqno (1.49)                   
$$
приводит, минуя использование соотношения (1.20), к представлению полевой переменной $ \vec{E}_{\mathcal{F}}(x)$    через 
$  \vec{E}_{_{A}}(x)$ в волновой зоне (cм. так же \cite[(88), \S17.3, ч.II ]{Med}), 
$$
\vec{E}_{\mathcal{F}}(x)\, =\, \frac{1}{2}\, \vec{n}\times(\vec{E}_{A}(x)\times\vec{n})\, =\, \frac{1}{2}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)\, , \eqno (1.50)
$$
одновременно демонстрирующему  поперечность, по отношению к $\vec{n}$, полевой переменной $\vec{E}_{\mathcal{F}}(x)$, в рассматриваемой зоне. 

Для аксиального  вектора $\vec{\mathcal{H}}(x)$, дуального тнезору $\mathcal{F}(x)$, 
$$
\vec{\mathcal{H}}(x)=-\frac{1}{2}\, \epsilon\cdot\cdot\mathcal{\mathcal{F}}(x)\, =\, \frac{1}{2}\, rot\vec{A}(x)\, ,     \eqno (1.51)
$$
имеем, соответственно, соотношения, 
$$
\vec{\mathcal{H}}(x)=\, \frac{1}{2}\, (\vec{n}\times\vec{E}_{A}^{\, t}(x))=\vec{n}\times\vec{E}_{\mathcal{F}}(x)\, ,    \eqno (1.52)
$$ 
демонстрирующие поперечность, как по отношению к $\vec{n}$, так  и по отношению к $\vec{E}_{\mathcal{F}}(x)$, полевой переменной $\vec{\mathcal{H}}(x)$, 
а так же равенство $| \vec{\mathcal{H}}(x)|=|\vec{E_{\mathcal{F}}}(x)|$.

Аналогично, использование (1.32) в  (1.35) приводит к дифференциальному соотношению, последующее интегрирование по времени которого приводит, с точностью до "постоянной"\, , данного интегрирования, к уравнению алгебраической связи полевых переменных
$\vec{E}_{\mathcal{G}}(x)$  и  $\mathcal{G}(x)$ в волновой зоне, 
$$
\vec{E}_{\mathcal{G}}(x)\, =\, \vec{n}\cdot \mathcal{G}(x)\, ,                                  \eqno (1.53)
$$
а учет в (1.53) формулы векторного анализа, 
$$
\vec{a}\cdot(\vec{b}\overset{s}{\otimes}\vec{c})\, =
, -\frac{1}{2}\, \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})+\vec{c}\, (\vec{a}\cdot\vec{b})\, ,            \eqno (1.54)    
$$
приводит, минуя использование соотнощения (1.23), к представлению и полевой переменной $\vec{E}_{\mathcal{G}}(x)  $ через $ \vec{E}_{_{A}}(x)$\, в волновой зоне, 
$$
\vec{E}_{\mathcal{G}}(x)=\, \frac{1}{2}\, \vec{n}\times(\vec{E}_{A}(x)\times\vec{n})+\vec{n}(\vec{E}_{A}(x)\cdot\vec{n}))=
\, \frac{1}{2}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)+\vec{E}_{A}^{\, l}(x)\, ,                                     \eqno (1.55)
$$
однако, в отличие от $\vec{E}_{\mathcal{F}}(x)$, содержащему как поперечную, так и продольную составляющие полевой переменной
$ \vec{E}_{A}(x)$ в рассматриваемой зоне, предсказыая. тем самым, возможное существование электродинамического излучения с продольной поляризацией 
напряженности электрического поля \cite[\S2.]{Al2}, \cite[ч.I, гл.I, \S2]{Al8}.
 
 Использоание (1.32) в уравнении (1.35) для полевых переменных, определяемых продольной, по отношению к $\vec{n}$, составляющей
 векторного потенциала, 
 $$
 \partial_{0}\vec{E}_{\mathcal{G}^{\, l}}(x)+\vec{\nabla}\cdot \mathcal{G}^{\, l}(x)=\vec{0}\, , \eqno (1.56)
 $$
 где $\mathcal{G}^{\, l}(x)= \tilde{def}\, \vec{A}^{\, l}(x)\, , $ 
 приводит, в волновой зоне, к соотношению 
 $$
 \vec{E}_{\mathcal{G}^{\, l}}(x)=\vec{E}_{A}^{\, l}(x).                                          \eqno (1.57)
 $$
 
 С другой стороны, уравнение (1.56), совместно со вторым уравнением системы (IV)\cite[\S14, гл.V.]{Al0} для волновых полевых
 переменных, определяемых продольной, по отношению к $\vec{n}$, составляющей векторного потенциала, 
 $$
 \partial_{0}\mathcal{G}^{\, l}(x)=-\tilde{def}\vec{E}_{\mathcal{G}^{\, l}}(x)\, ,                           \eqno (1.58)
 $$ 
 приводят к дифференциальной форме закона сохранения полевой энергии продольного электроджейтонного излучения, 
 представленного волновым полевым комплексом  \{${ \vec{E}_{\mathcal{G}^{l}}}(x), \mathcal{ G}{^{l}}(x)$\} и к, определяемым этим законом, 
 выражениям для плотности энергии и плотности потока энергии этого излучения, используемым ниже в качестве стартовых соотношений
 (3.1)--(3.3), \S3.         


\subsection*{\S \, 2. Полевые переменные полей излучения, носителями которых являются потенциалы
Лиенара\, --\, Вихерта}

\addcontentsline{toc}{subsection}{\S\, 2. Полевые переменные полей излучения, носителями которых являются потенциалы Лиенара\, --\, Вихерта}

\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}

\qquad
Следуя \cite{La}, далее будем использовать гауссову систему единиц, ограничиваясь, по\, -прежнему, 
"\, электродинамикой вакуума и точечных электрических зарядов\, ".

Выполнив соответствующие дифференцирования  векторного потенциала Лиенара\, --\, Вихерта, 
получаем следующие асимптотические выражения \cite[\S17, ч. II.]{Med} для  полевых переменных $\partial A(x)$ и  $\vec{E}_{A}(x)$, 
содержащих  члены, зависящие от ускорения рассматриваемой частицы \cite[\S 63]{La}, 
$$
\partial A(x)_{a}=\, -\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{(1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )
(\vec{n}\otimes \dot{\vec{\beta}}\, )+(\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )(\vec{n}\otimes \vec{\beta}\, )\}\, , 
\eqno (2.1)
$$
$$
\vec{E}_{A}(x)_{a}=\, -\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{(1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )\, 
\dot{\vec{\beta}}\, +\, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, \vec{\beta}\, \}\, .         \eqno (2.2)
$$

Индексы "$a$"\, у символов, обозначающих такие выражения, далее будут опускаться.

Использование (1.32) в (1.13) мгновенно приводит к полевому уравнению связи рассматриваемых
волновых переменных $\partial A(x)$ и  $\vec{E}_{A}(x)$, 
$$
\partial A(x)\, =\, \vec{n}\, \otimes\, \vec{E}_{A}(x)\, ,       \eqno (2.3)
$$
следующему так же и из сопоставления соотношений (2.1) и (2.2).

Представив (2.2) в более удобном, для дальнейшего анализа, виде
$$
\vec{E}_{A}(x)=\, -\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{\vec{n}\times (\dot{\vec{\beta}}\times \vec{n}\, )\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )\, +\, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, \vec{n}\, \}\, ,        \eqno (2.4)
$$
получаем соотношения, определяющие поперечную и продольную составляющие данной напряженности
электрического поля, 
$$
\vec{E}_{A}^{\, t}(x):=\vec{n}\times (\vec{E_{A}}(x)\times\vec{n})=\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{\vec{n}\times (\dot{\vec{\beta}}\times \vec{n}\, )\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )\, \}\, , 
                                                                                  \qquad     \eqno (2.5)
$$
$$
\vec{E}_{A}^{\, \ell}(x):=\vec{n}\cdot (\vec{E_{A}}(x)\cdot\vec{n})= -\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, \vec{n}\, .                                        \eqno (2.6)
$$

(2.5), в свою очередь, приводит к соотношению
$$
\vec{E}_{A}^{\, t}(x)\, =\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{\vec{n}\times \, [(\vec{n}-\vec{\beta})\times \dot{\vec{\beta}}\, ]\, \}\, ,        \eqno (2.7)
$$
правая часть которого совпадает с правой частью равенства, определяющего напряженность электрического поля
{\em электромагнитного} излучения точечного электрического заряда в рамках  традиционной классической  теории элеткромагнетизма\, \cite{La}, \cite{Jack}.

Выполнив соответствующее дифференцирование скалярного потенциала Лиенара\, --\, Вихерта, получаем следующее
выражение для соответствующего слагаемого напряженности электрического поля, обусловленного этим потенциалом, 
$$
\vec{E}_{\varphi}(x)=\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, \vec{n}\, .                                        \eqno (2.8)
$$

Сопоставляя (2.8) и (2.6), приходим к соотношению
$$
\vec{E}_{\varphi}(x)=\, -\, \vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)\, ,                   \eqno (2.9)
$$
демонстрирующему, в первую очередь, что волновые полевые переменные $\vec{E}_{\varphi}(x)$ и $\vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)$ не являются независимыми, по отношению к друг другу, полевыми переменными рассматриваемой полевой системы.

Данное обстоятельство необходимо иметь в виду в процессе вычислений соответствующих
динамических переменных этой полевой системы.

Используя (2.4) и (2.8), приходим к следующим представлениям для напряженностей, 
определенных соотношениями (1.20) и (1.23), 
$$
\vec{E}_{\mathcal F}(x)=\, -\, \frac{e}{2c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, 
\{\vec{n}\times (\dot{\vec{\beta}}\times \vec{n}\, )\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )\, \}\, ,        \eqno (2.10)
$$
$$
\vec{E}_{\mathcal G}(x)=\, -\, \frac{e}{2c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \{\vec{n}\times (\dot{\vec{\beta}}\times \vec{n}\, )\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )\, +2\, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, \vec{n}\, \}\, .         \eqno (2.11)
$$

С другой стороны, учет (2.9) в (1.20) и (1.23) так же приводит к  соотношениям напряженностей
$\vec{E}_{\mathcal F}(x)$, $\vec{E}_{\mathcal G}(x)$ и  $\vec{E}_{A}(x)$, представленными равенствами (1.50), (1.55), в рассматриваемом излучении
$$
\vec{E}_{\mathcal F}(x)=\, \frac{1}{2}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)\, ,        \eqno (2.12)
$$
$$
\vec{E}_{\mathcal G}(x)=\, \frac{1}{2}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)\, +\, \vec{E}_{A}^{\, \ell}(x):=\, 
\vec{E}_{\mathcal G^{t}}(x)\, +\, \vec{E}_{\mathcal G^{\ell}}(x)\, .                \eqno (2.13)
$$

 (2.13), как  и (2.11), демонстрируют, что напряженность электрического поля, сопровождающего джейтонное поле в электроджейтонном излучении точечного электрического заряда, содержит, в общем случае произвольного направления излучения, как поперечную составляющую, равную напряженности $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$, так и продольную составляющую, равную $\vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)$ \cite{Al2}, \cite{Al8}.

Наличие у $\vec{E}_{\mathcal G}(x)$ двух таких составляющих находится в соответствии с тем, что
3\, -\, тензор джейтонного поля, в данном случае полевой системы, также имеет две составляющие, 
$\mathcal G^{\, t}(x):=\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}^{\, t}_{A}(x)$ и  $\mathcal G^{\, \ell}(x):=\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}^{\, \ell}_{A}(x)$, ведущие себя, по отношению к
направлению излучения, идентично составляющим $\vec{E}_{\mathcal G^{t}}(x)$  и
$\vec{E}_{\mathcal G^{\ell}}(x)$, соответственно.

Таким образом, {\em электроджейтонное\, } излучение точечного электрического заряда представлено
двумя принципиально разными полевыми комплексами, $\{\vec{E}_{\mathcal G^{t}}(x), \mathcal G^{\, t}(x)\}$  и  $\{\vec{E}_{\mathcal G^{\ell}}(x), \mathcal G^{\, \ell}(x)\}$, являющимися, соответственно, полевыми комплексами поперечных и продольных {\em электроджейтонных\, } волн, генерируемых данным зарядом.

 Полевой комплекс $\{\vec{E}_{\mathcal F}(x), \mathcal F(x)\}$ представляет собой электромагнитную составляющую излучения данного источника, в которой напряженность электрического поля
 поперечно поляризована  и выражена, посредством (2.12), через поперечную составляющую напряженности $\vec{E}_{A}(x)$.

 Коллинеарность $\vec{E}_{\varphi}(x)$ и $\vec{n}$, определяемая соотношением (2.8), в силу равенства
$$
\vec{a}\overset{a}{\otimes}\, \vec{b}\, =\, \frac{1}{2}\, \, \varepsilon\, \cdot(\vec{a}\times\vec{b})\, , 
                                                                                       \eqno (2.14)
$$
приводит к тождеству
$$
\vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \vec{E}_{\varphi}(x)\, \equiv\, \tilde{0}\, ,             \eqno (2.15)
$$
в силу которого соотношение (1.34) принимает вид полевого уравнения связи волновых  переменных
$\mathcal F(x)$ и $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$
$$
\mathcal F(x)\, =\, 2\, \vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \vec{E}_{\mathcal F}(x)\, .   \eqno (2.16)
$$

В свою очередь, (2.16) и  (2.12), демонстрируют, что, как и $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$, 3\, -тензор  $\mathcal F(x)$ так же выражен через поперечную составляющую напряженности $\vec{E}_{A}(x)$.

Таким образом, для полного определения {\em электромагнитного} поля рассматриваемого  источника в его волновой зоне достаточно вычислить только напряженность электрического поля, определяемую только векторным потенциалом, во-первых, и только ее поперечную составляющую, во-вторых.

Соответственно, для полного определения {\em электроджейтонного} поля данного источника в данной зоне, 
так же достаточно вычислить только напряженность электрического поля, определяемую только векторным потенциалом, во-первых, и при этом не только поперечную, но и продольную составляющие этой напряженности, во-вторых.

%С другой стороны находим, что для полного определения как электромагнитного, так и электроджейтонного полей рассматриваемого источника в его волновой зоне  достаточно вычислить только векторный потенциал \cite{La7}.

В свою очередь, подстановка (2.2) в (1.34) дает
$$
\mathcal F(x)=-\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{(1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )\, 
(\vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \dot{\vec{\beta}}\, )+(\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, (\vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \vec{\beta}\, )\}\, .         \eqno (2.17)
$$

Двойное скалярное умножение правой и левой частей уравнения (2.16) на $-\frac{1}{2}\, \varepsilon$ и
последующий учет соотношения (1.25), совместно с равенством
$$
rot\, \vec{a}=\, -\, \varepsilon\, \cdot\cdot\, \tilde{rot}\, \vec{a}\, ,        \eqno (2.18)
$$
приводит к хорошо известному соотношению полевых переменных $\vec{\mathcal H}(x)$ и $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$
$$
\vec{\mathcal H}(x)=\, \vec{n}\, \times\, \vec{E}_{\mathcal F}(x)\, .      \eqno (2.19)
$$

Уравнение связи волновых полевых переменных $\mathcal G(x)$ и $\vec{E}_{A}(x)$, представленное соотношением (1.33), после использования (2.2), приводит к следующему выражению для 3\, -\, тензора
джейтонного поля
$$
\mathcal G(x)=-\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{(1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )\, 
(\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \dot{\vec{\beta}}\, )+(\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, (\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{\beta}\, )\}\, .         \eqno (2.20)
$$

Использование (1.4) в (1.10) дает уравнение связи волновых полевых переменных $\mathcal G_{\ast}(x)$ и $\vec{E}_{A}(x)$
$$
\mathcal G_{\ast}(x)=\, \frac{1}{tr\, g}\, (\vec{n}\cdot \vec{E}_{A}(x)\, )\, g\, ,   \eqno (2.21)
$$
учет в котором соотношения (2.4) приводит к   выражению для 3\, -\, тензора дилатационного
джейтонного поля
$$
\mathcal \mathcal \mathcal G_{\ast}(x)=\, -\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \frac{1}{tr\, g}\, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, g\, .                                                           \eqno (2.22)
$$

В свою очередь, используя определение линейного  инварианта 3\, -\, тензора $\mathcal G(x)$
\cite{Al0}
$$
 \mathcal G^{\ast}(x)\, \eqdef \, tr\, \mathcal G(x)=\, tr\, \partial A(x)=\, div\, \vec{A}(x)\, ,       \eqno (2.23)
$$
приходим, согласно (2.21), к уравнению связи волновых полевых переменных $\mathcal G^{\ast}(x)$ и $\vec{E}_{A}(x)$
$$
\mathcal G^{\ast}(x)\, =\, (\vec{n}\cdot \vec{E}_{A}(x)\, )\, ,               \eqno (2.24)
$$
учет в котором соотношения (2.4) дает
$$
\mathcal G^{\ast}(x)\, =\, -\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, .                                                           \eqno (2.25)
$$

Полевое уравнение связи 3\, -\, тензора $\mathcal G_{\ast}(x)$ и  линейного инварианта 3-тензора $\mathcal{\mathcal{G}}(x)$, 
$\mathcal G^{\ast}(x)$, согласно (1.10) и (2.23), имеет вид
$$
\mathcal G_{\ast}(x)\, =\, \frac{\mathcal G^{\ast}(x)}{tr\, g}\, g\, .                           \eqno (2.26)
$$

Используя (1.32) и (2.9) получаем равенство
$$
\partial_{0}\, A_{0}(x)\, =\, -\, (\vec{n}\cdot \vec{E}_{A}(x)\, )\, ,                        \eqno (2.27)
$$
приводящее, в силу (2.23) и (2.24), к соотношению Лоренца
$$
\partial_{0}\, A_{0}(x)\, =\, -\, div\, \vec{A}(x)\, ,                                       \eqno (2.28)
$$
однако выступающего теперь не как традиционное {\em дополнительное}\, условие на 4\, -\, потенциал $A(x)$, 
а как соотношение, определяющее\, "универсальную\, "\, связь полевых переменных $\partial_{0}\, A_{0}(x)$ и $div\, \vec{A}(x)$, которой {\em обладает} рассматриваемая полевая система и, 
тем самым, являющееся уравнением  интегрируемой дифференциальной связи компонент
4-потенциала $A(x)$ рассматриваемой полевой системы, уменьшающим количество взаимно линейно независимых
компонент данного потенциала с четырех до трех\, \cite{BSh}.

Соответствующие представления 3\, -\, тензора девиатационного джейтонного поля, $\mathcal G_{d}(x)$, определенного соотношением (1.9), проще найти используя взаимно однозначное разложение
$$
\mathcal G(x)\, =\, \mathcal G_{d}(x)\, +\, \mathcal G_{\ast}(x)\, ,                   \eqno (2.29)
$$
которое мгновенно приводит к  искомым представлениям
$$
\mathcal G_{d}(x)=\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}_{A}(x)-\, \frac{1}{tr\, g}\, (\vec{n}\cdot \vec{E}_{A}(x)\, )\, g\, ,                                                      \eqno (2.30)
$$
$$
\mathcal G_{d}(x)=-\, \frac{e}{c\, R\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 3}}\, \, \{(1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )\, 
(\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \dot{\vec{\beta}}\, )+(\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, (\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{\beta}\, )-\, \frac{1}{tr\, g}\, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, g\}\, .         \eqno (2.31)
$$

Разложение напряженности $\vec{E}_{A}(x)$ на составляющие $\vec{E}_{A}^{\, t}(x)$ и $\vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)$, определяемое соотношением (2.4), индуцирует разложения как полевых
переменных $\vec{E}_{\mathcal F}(x)$ и $\vec{E}_{\mathcal G}(x)$, представленных соотношениями (2.12) и (2.13), так и  полевых переменных $\mathcal F (x)$, $\mathcal G (x)$, $\mathcal G_{d} (x)$ и $\mathcal G_{\ast} (x)$, рассматриваемых ниже.

Рассматриваемое разложение 3\, -\, тензора магнитного поля
$$
\mathcal F (x)\, =\, \vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)+
\vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, \ell}(x):=\, \mathcal F^{\, t} (x)+\mathcal F^{\, \ell} (x)\, ,          \eqno (2.32)
$$
после учета тождества
$$
\mathcal F^{\, \ell} (x)\equiv\, \tilde{0}\, ,                       \eqno (2.33)
$$
принимает вид
$$
\mathcal F (x)\, =\, \vec{n}\, \overset{a}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)=
\, \mathcal F^{\, t} (x)\, .                                                \eqno (2.34)
$$

Соответствующее разложение 3\, -\, тензора джейтонного поля
$$
\mathcal G (x)\, =\, \vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)+
\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, \ell}(x):=\, \mathcal G^{\, t} (x)+\mathcal G^{\, \ell} (x)\, ,          \eqno (2.35)
$$
представлено, в общем случае, двумя, отличными от $\tilde{0}$, слагаемыми.

Использование соотношений  (2.34) и (2.35), при вычислении напряженностей $\vec{E}_{\mathcal{F}}(x)$
и $\vec{E}_{\mathcal{G}}(x)$ с помощью  уравнений (1.35) и (1.44), так же приводит к равенствам (2.12) и (2.13), вновь демонстрируя эквивалентность способов вычисления данных напряженностей, обсуждаемых в \S\, 1.

Для 3\, -\, тензора дилатационного  джейтонного поля, $\mathcal G_{\ast} (x)$, имеем, согласно (2.21), 
очевидное соотношение
$$
\mathcal G_{\ast}(x)=\, \frac{1}{tr\, g}\, (\vec{n}\cdot \vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)\, )\, g:=\, \mathcal G_{\ast}^{\, \ell}(x)\, .    \eqno (2.36)
$$

Использование (2.29), (2.35) и (2.36) приводит к соответствующему представлению 3\, -\, тензора девиатационного  джейтонного поля
$$
\mathcal G_{d} (x)\, =\, \vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, t}(x)+
\vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)-\, \frac{1}{tr\, g}\, (\vec{n}\cdot \vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)\, )\, g:=\, \mathcal G_{d}^{\, t} (x)+\mathcal G_{d}^{\, \ell} (x)\, ,   \eqno (2.37)
$$
слагаемые правой части которого, в общем случае, так же как и в (2.35), отличны от $\tilde{0}$.


\subsection*{\S \, 3. Плотность энергии и плотность потока энергии электродинамического излучения точечной электрически заряженной частицы}

\addcontentsline{toc}{subsection}{\S\, 3. Плотность энергии и плотность потока энергии электродинамического излучения точечной электрически заряженной частицы}

\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}

\qquad
В каждый момент времени, электродинамическое излучение точечной электрически заряженной частицы, совершающей произвольное движение, регистрируемое неподвижным, относительно выбранной инерциальной
системы отсчета, прибором, находящимся в точке $N$ конфигурационного пространства, рассматриваем  как суперпозицию когерентных излучений, обусловленных поперечной и продольной, по отношению к $\vec{n}$, составляющими ускорения этой частицы  \cite{Jack}.

\subsubsection*{3.1. Излучение обусловленное продольной составляющей ускорения}

\addcontentsline{toc}{subsection}{3.1. Излучение обусловленное продольной составляющей ускорения}

\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}

\qquad
Выражения для мгновенных значений плотности энергии и вектора плотности потока энергии
 излучения, регистрируемого в рассматриваемой точке $N$ и обусловленного продольной составляющей ускорения, $\dot{\vec{\beta}}^{\, \ell}$, ~ а так же соответствующее уравнение непрерывности плотности потока энергии соответствующего электроджейтонного поля, определяются, согласно   \cite[(17.2)--(17.4)]{Al0}, соотношениями \footnote[1]{Соотношение (3.2), совместно с  формулой диаграммы направленности плотности
 потока энергии  продольного электроджейтонного излучения  обусловленного электрическим дипольным моментом системы, были получены  в \cite{Al6}.}
$$
W_{\mathcal G^{\ell}}(x)\, =\, \frac{1}{8\, \pi}\, (E_{A}^{\, \ell}(x)^{2}\, +\, \mathcal G^{\ell}(x)^{2})\, , \eqno (3.1)
$$
$$
\vec{S}_{\mathcal G^{\ell}}(x)\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G^{\ell}(x)\cdot\vec{E}_{A}^{\, \ell}(x)\, ,                  \eqno (3.2)
$$
$$
\partial_{\, t}\, W_{\mathcal G^{\ell}}(x)\, +\, div\, \vec{S}_{\mathcal G^{\ell}}(x)\, =\, 0\, .      \eqno (3.3)
$$

В целях упрощения записей, аргументы полевых и динамических переменных в формулах далее будут опускаться.

Согласно (2.35), имеем соотношение
$$
\mathcal G^{\, \ell}\, =\, \vec{n}\, \overset{s}{\otimes}\, \vec{E}_{A}^{\, \ell}\, ,         \eqno (3.4)
$$
которое, с учетом равенств
$$
\vec{a}\overset{s}{\otimes}\vec{b}\, =\, \vec{a}\otimes\vec{b}, \quad \mbox {при}\, \, \vec{a}\, coll\, \, \vec{b}\, ,                                                          \eqno (3.5)
$$
$$
(\vec{a}\otimes\vec{b}\, )\cdot\vec{c}\, =\, \vec{a}\, (\, \vec{b}\cdot\vec{c}\, )\, ,       \eqno (3.6)
$$
представляет (3.2) в виде 
$$
\vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, \vec{n}\, .
                                                                                    \eqno (3.7)
$$

Учтя соотношения
$$
(\vec{a}\, \otimes\, \vec{b})^{\, 2}:=\, (\vec{a}\, \otimes\, \vec{b})
\cdot\cdot\, (\vec{a}\, \otimes\, \vec{b})^{\, T}=\, a^{\, 2}\, b^{\, 2}\, ,              \eqno (3.8)
$$
в силу которых, согласно (3.4), 
$$
\mathcal G^{\, \ell}\, ^{2}\, =\, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, ,                    \eqno (3.9)
$$
приходим к следующим компактным выражениям для плотности энергии электроджейтонного излучения, 
представленного "продольным\, "\, полевым комплексом $\{\vec{E}_{A}^{\, \ell}(x), \mathcal G^{\, \ell}(x)\}$, 
$$
W_{\mathcal G^{\ell}}\, =\, \frac{1}{4\, \pi}\, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, =\, \frac{1}{4\, \pi}\, \mathcal G^{\, \ell}\, ^{2}\, ,                                                       \eqno (3.10)
$$
позволяющим переписать (3.7) в стандартном виде \cite[(4.75), \S47]{La}
$$
\vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}\, =\, c\, W_{\mathcal G^{\ell}}\, \vec{n}\, =\, W_{\mathcal G^{\, \ell}}\, \vec{c}\, .
                                                                                    \eqno (3.11)
$$

Последующий учет (3.11) в (3.3) приводит к дифференциальной форме закона сохранения энергии для данного вида излучения
$$
\partial_{\, t}\, W_{\mathcal G^{\ell}}\, +\, div\, (W_{\mathcal G^{\, \ell}}\, \vec{c})\, =\, 0\, .  \eqno (3.12)
$$

В свою очередь, (3.9) позволяет представить (3.7) так же соотношением
$$
\vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G^{\, \ell}\, ^{2}\, \vec{n}\, .
                                                                                    \eqno (3.13)
$$

После разложения правой части (3.2) на составляющие, определяющие вектора плотностей потоков энергий, связанных с $\mathcal G_{d}^{\, \ell} (x)$\, - и $\mathcal G_{\ast}(x)$\, -\, полями, 
$$
\vec{S}_{\mathcal G^{\ell}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G_{d}^{\ell}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \ell}+
\frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G_{\ast}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \ell}:=\, \vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\ell}}+\vec{S}_{\mathcal G_{\ast}}\, ,                  \eqno (3.14)
$$
и последующего использования (2.21), с  учетом равенств
$$
g\, \cdot\, \vec{a}\, =\, \vec{a}\, , 
$$
$$
(\vec{a}\, \cdot\, \vec{b}\, )\, \vec{b}\, =\, b^{2}\, \vec{a},   \quad \mbox{при}\, \, \vec{a}\, coll\, \, \vec{b}\, , 
$$
$$
tr\, g\, =\, 3\, , 
$$
второе слагаемое правой части (3.14) принимает вид соотношения
$$
\vec{S}_{\mathcal G_{\ast}}\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{c}{4\, \pi}\, \, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                    \eqno (3.15)
$$
представляющего собой компактное выражение для вектора плотности потока энергии, связанного с {\em дилатационным} джейтонным полем.

Первое слагаемое правой части (3.14), после использования соотношений (3.7), (3.14) и (3.15), представляется  равенством
$$
\vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\ell}}\, =\, \frac{2}{3}\, \, \frac{c}{4\, \pi}\, \, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                    \eqno (3.16)
$$
определяющим компактное выражение для вектора плотности потока энергии, связанного с {\em девиатационным} джейтонным полем.

Сопоставление (3.15) и (3.16) приводит к следующему соотношению рассматриваемых векторов плотностей
потоков энергии
$$
\vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\ell}}\, =\, 2\, \vec{S}_{\mathcal G_{\ast}}\, .             \eqno (3.17)
$$

С другой стороны, используя (2.36), совместно с коллинеарностью векторов $\vec{E}_{A}^{\, \ell}$ и $\vec{n}$, представленной соотношением (2.6), находим
$$
\mathcal G_{\ast}^{\, 2}\, =\, \frac{1}{(tr\, g)^{\, 2}}\, (\vec{n}\cdot \vec{E}_{A}^{\, \ell}\, )^{\, 2}\, g\, \cdot\cdot\, g\, =\, \frac{1}{3}\, \, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, .   \eqno (3.18)
$$

В свою очередь, воспользовавшись ортогональностью слагаемых правой части разложения
$$
\mathcal G^{\, \ell}\, =\, \mathcal G_{d}^{\ell}\, +\, \mathcal G_{\ast}\, ,     \eqno (3.19)
$$
получаем соотношение
$$
\mathcal G_{d}^{\ell}\, ^{2}\, =\, \mathcal G^{\ell}\, ^{2}\, -\, \mathcal G_{\ast}\, ^{2}\, ,     \eqno (3.20)
$$
учет в котором (3.9) и (3.18) дает
$$
\mathcal G_{d}^{\ell}\, ^{2}\, =\, \frac{2}{3}\, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, .             \eqno (3.21)
$$

Выделяя в (3.1) плотности энергий, связанных с $\mathcal G_{d}^{\ell}$\, - и $\mathcal G_{\ast}$\, -\, полями, получаем соотношение
$$
W_{\mathcal G^{\ell}}\, =\, \frac{1}{8\, \pi}\, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, +\, \frac{1}{8\, \pi}\, \mathcal G_{d}^{\ell}\, ^{2}\, +\, \frac{1}{8\, \pi}\, \mathcal G_{\ast}\, ^{2}:=
\, W_{E_{A}^{\, \ell}}+W_{G_{d}^{\ell}}+\, W_{\mathcal G_{\ast}}\, ,           \eqno (3.22)
$$
демонстрирующее, что объемная плотность энергии, переносимая продольной электроджейтонной волной, 
складывается из объемных плотностей энергий электрического и джейтонных полей продольного полевого комплекса $\{\vec{E}_{A}^{\ell}(x), \mathcal G_{d}^{\ell}(x), \mathcal G_{\ast}(x)\}$.

Используя (3.18) и (3.21), приходим к соотношениям для плотностей энергий, представленных вторым и третьим слагаемыми правой части (3.22), 
$$
W_{G_{d}^{\ell}}\, =\, \frac{2}{3}\, W_{E_{A}^{\, \ell}}\, ,                  \eqno (3.23)
$$
$$
W_{\mathcal G_{\ast}}\, =\, \frac{1}{3}\, W_{E_{A}^{\, \ell}}\, .                   \eqno (3.24)
$$

Сопоставление равенств (3.23) и (3.24) приводит, в соответствии с (3.17), к соотношению плотностей
энергий девиатационного и дилатационного джейтонных полей в продольном электроджейтонном излучении
точечного электрического заряда
$$
W_{G_{d}^{\ell}}\, =2\, W_{\mathcal G_{\ast}}\, .                         \eqno (3.25)
$$

В свою очередь, (3.18) и (3.21) позволяют, в частности, представить соотношения (3.15) и (3.16)
также в виде
$$
\vec{S}_{\mathcal G_{\ast}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G_{\ast}^{\, 2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                    \eqno (3.26)
$$
$$
\vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\ell}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G_{d}^{\ell}\, ^{2}\, \vec{n}\, .
                                                                                    \eqno (3.27)
$$

Эти соотношения можно мгновенно получить так же подстановкой (3.19) в (3.13) с последующим учетом
ортогональности разложения (3.19).

Воспользовавшись соотношением
$$
\mathcal G^{\ast}\, ^{2}\, =\, E_{A}^{\, \ell}\, ^{2}\, ,                         \eqno (3.28)
$$
следующим из (2.24), вектора плотностей потоков энергий, (3.15) и (3.16), можно представить
так же в виде равенств
$$
\vec{S}_{\mathcal G_{\ast}}\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G^{\ast}\, ^{2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                    \eqno (3.29)
$$
$$
\vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\ell}}\, =\, \frac{2}{3}\, \, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G^{\ast}\, ^{2}\, \vec{n}\, .
                                                                                    \eqno (3.30)
$$

(3.28) позволяет так же представить (3.7) и (3.10) в виде соотношений, содержащих линейный
инвариант 3\, -\, тензора $\mathcal G(x)$, 
$$
\vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G^{\ast}\, ^{2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                    \eqno (3.31)
$$
$$
W_{\mathcal G^{\ell}}\, =\, \frac{1}{4\, \pi}\, \mathcal G^{\ast}\, ^{2}\, .               \eqno (3.32)
$$

(3.31) и (3.32) демонстрируют, что суммарную плотность потоков энергий и суммарную плотность энергий
  продольного электроджейтонного излучения  точечной электрически заряженной частицы  можно вычислять так же и с помощью данных соотношений.

С другой стороны, (3.7), после учета (2.6), приводит к следующему выражению для вектора плотности
потока энергии продольного электроджейтонного излучения точечной электрически заряженной частицы, представленного вышеуказанным продольным полевым комплексом, 
$$
\vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{2}}{4\pi c\, R^{\, 2}\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 6}}\, \, |\, \vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, |^{\, 2}\, \vec{n}\, .
                                                                                            \eqno (3.33)
$$

В свою очередь, объемная плотность импульса рассматриваемого электроджейтонного поля представляется соотношениями
$$
\vec{p}_{\mathcal G^{\ell}}\, =\, \frac{1}{c^{\, 2}}\, \vec{S}_{\mathcal  G^{\, \ell}}\, =\, \frac{1}{c}\, W_{\mathcal G^{\ell}}\, \vec{n}\, .                    \eqno (3.34)
$$

Как и в \cite{La}, обращаем внимание на то, что соотношение между объемной плотностью энергии и объемной плотностью импульса данного поля оказывается таким же как для частиц, движущихся со скоростью света.

Наличие импульса и плотности потока импульса у рассматриваемого волнового  электроджейтонного поля приводит к наличию давления данного  излучения на поверхность, отражающую или поглощающую данный вид излучения \cite{La}.

\subsubsection*{3.2. Излучение обусловленное поперечной составляющей ускорения}

\addcontentsline{toc}{subsection}{3.2. Излучение обусловленное поперечной  составляющей ускорения}

\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}

\qquad
Выражения для мгновенных значений плотности энергии и вектора плотности потока энергии
 излучения, регистрируемого в рассматриваемой точке $N$  и обусловленного поперечной составляющей ускорения, $\dot{\vec{\beta}}^{\, t}$, ~ а так же соответствующее уравнение непрерывности плотности потока энергии соответствующего электромагнитоджейтонного  поля, определяются, согласно   \cite[(13.12)--(13, 14)]{Al0}, соотношениями
$$
W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{1}{8\, \pi}\, (E_{A}^{\, \, t}\, ^{\, 2}\, +\, \mathcal F^{\, 2}\, +\mathcal G_{d}^{\, t}\, ^{\, 2})\, ,                                      \eqno (3.35)
$$
$$
\vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal F \cdot\vec{E}_{A}^{\, t}\, +\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \mathcal G_{d}^{\, t} \cdot\vec{E}_{A}^{\, t}:=\, \vec{S}_{\mathcal F}\, +\, \vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\, t}}\, , \eqno (3.36)
$$
$$
\partial_{\, t}\, W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, +\, div\, \vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, 0\, .                                                                      \eqno (3.37)
$$

Соотношение (3.35)  демонстрирует, что объемная плотность энергии переносимая поперечной
электромагнитоджейтонной волной складывается из объемных плотностей энергий электрического, магнитного и
джейтонного полей, определяемых поперечным волновым комплексом $\{\vec{E}_{A}^{\, t}(x), \, \mathcal   F(x), \, \mathcal G_{d}^{\, t}(x)\}$.

Учет (2.34) и (2.37), с последующим использованием равенств
$$
\vec{a}\cdot\, (\vec{b}\overset{a}{\otimes}\vec{c}\, )=
-\, \frac{1}{2}\, (\vec{b}\, (\vec{a}\cdot\vec{c}\, )-\vec{c}\, (\vec{a}\cdot\vec{b}\, ))\, ,   \eqno (3.38)
$$
$$
\vec{a}\cdot\, (\vec{b}\overset{s}{\otimes}\vec{c}\, )=
\, \frac{1}{2}\, (\vec{b}\, (\vec{a}\cdot\vec{c}\, )+\vec{c}\, (\vec{a}\cdot\vec{b}\, ))\, ,   \eqno (3.39)
$$
приводит к следующим соотношениям  векторов плотностей потоков энергий правой части (3.36)
$$
\vec{S}_{\mathcal F}\, =\, \frac{c}{8\, \pi}\, E_{A}^{\, \, t}\, ^{\, 2}\, \vec{n}\, =\, \vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\, t}}\, .                                                                            \eqno (3.40)
$$

Дальнейшее использование соотношения (2.5) представляет (3.40) в виде
$$
\vec{S}_{\mathcal F}\, =\frac{e^{\, 2}}{8\, \pi c\, R^{\, 2}\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 6}}\, 
|\, \vec{n}\times (\dot{\vec{\beta}}\times \vec{n}\, )\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )|^{\, 2}\, \vec{n}\, =\, \vec{S}_{\mathcal G_{d}^{\, t}}\, .                  \eqno (3.41)
$$

В свою очередь, последовательная подстановка (3.40) и (3.41) в (3.36) приводит к следующим выражениям
для вектора плотности потока энергии, переносимой поперечным полевым комплексом $\{\vec{E}_{A}^{\, t}(x), \, \mathcal   F(x), \, \mathcal G_{d}^{\, t}(x)\}$
$$
\vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =
\, \frac{c}{4\, \pi}\, E_{A}^{\, \, t}\, ^{\, 2}\, \vec{n}\, ,                                     \eqno (3.42)
$$
$$
\vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{4\, \pi c\, R^{\, 2}\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 6}}\, 
|\, \vec{n}\times (\dot{\vec{\beta}}\times \vec{n}\, )\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )|^{\, 2}\, \vec{n}\, .                                                   \eqno (3.43)
$$

Использовав (2.7) в (3.42), приходим к равенству
$$
\vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{4\, \pi c\, R^{\, 2}\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 6}}\, 
|\, \vec{n}\times \, [(\vec{n}-\vec{\beta})\times \dot{\vec{\beta}}\, ]\, |^{\, 2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                             \eqno (3.44)
$$
правая часть которого совпадает с правой частью соотношения, определяющего вектор плотности потока энергии электромагнитного излучения точечного электрического заряда, полученный в рамках стандартной
модели классической электродинамики \cite{Jack}.

С другой стороны, вновь воспользовавшись (2.34) и (2.37), с последующим учетом соотношений
$$
(\vec{a}\otimes\vec{b}\, )\, \cdot\cdot\, (\vec{a}\otimes\vec{b}\, )^{T}\, =\, a^{\, 2}\, b^{\, 2}\, ,  \eqno (3.45)
$$
$$
(\vec{a}\otimes\vec{b}\, )\, \cdot\cdot\, (\vec{a}\otimes\vec{b}\, )\, =\, (\vec{a}\cdot\vec{b}\, )^{\, 2}\, , 
                                                                                       \eqno (3.46)
$$
приходим к следующим равенствам
$$
\mathcal F^{\, 2}\, =\, \frac{1}{2}\, E_{A}^{\, \, t}\, ^{\, 2}\, =\, \mathcal G_{d}^{\, t}\, ^{\, 2}\, , \eqno (3.47)
$$
в результате которых (3.35) принимает удобный, для вычислений, вид
$$
W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{1}{4\, \pi}\, E_{A}^{\, \, t}\, ^{\, 2}\, ,      \eqno (3.48)
$$
дальнейший учет которого в (3.42) приводит к стандартному соотношению, подобному (3.11), 
$$
\vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, c\, W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, \vec{n}\, =\, W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, \vec{c}\, .
                                                                                             \eqno (3.49)
$$

Последующий учет (3.49) в (3.37) приводит к дифференциальной форме закона сохранения энергии для данного
вида излучения
$$
\partial_{\, t}\, W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, +\, div\, (W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, \vec{c}\, )\, =\, 0\, .                                                          \eqno (3.50)
$$

\subsubsection*{3.3. Динамические переменные и соответствующие законы сохранения характеризующие  полное излучение точечного электрического заряда}

\addcontentsline{toc}{subsection}{3.3. Динамические переменные и соответствующие законы сохранения характеризующие  полное излучение точечного электрического заряда}

\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}

\qquad
Суммируя (3.7) и (3.42) получаем выражение для  полной плотности потока энергии рассматриваемого излучения
$$
\vec{S}:=\, \vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}\, +\, \vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, E_{A}^{\, \, \, 2}\, \, \vec{n}\, , 
                                                                                    \eqno (3.51)
$$
которое, после учета (2.4), принимает вид
$$
\vec{S}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{4\, \pi c\, R^{\, 2}\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 6}}\, 
|\, \vec{n}\times (\dot{\vec{\beta}}\times \vec{n}\, )\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )\, +\, (\vec{n}\cdot \dot{\vec{\beta}}\, )\, \vec{n}\, |^{\, 2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                        \eqno (3.52)
$$
представляемый так же более компактным соотношением
$$
\vec{S}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{4\, \pi c\, R^{\, 2}\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{\, 6}}\, 
|\, \dot{\vec{\beta}}\, +\, \vec{n}\times (\vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta}}\, )\, |^{\, 2}\, \vec{n}\, .
                                                                                        \eqno (3.53)
$$

Правая часть соотношения (3.51) {\em внешне} совпадает с выражением для плотности потока энергии  плоских электромагнитных волн, полученным в \cite{La} в рамках соответствующих дополнительных условий на компоненты 4\, -\, потенциала таких волн.

Суммируя (3.10) и (3.48) приходим к выражению для полной плотности энергии данного излучения
$$
W:=\, W_{\mathcal G^{\ell}}\, +\, W_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{1}{4\, \pi}\, E_{A}^{\, \, 2}\, , 
                                                                                         \eqno (3.54)
$$
позволяющему представить (3.51) так же в виде
$$
\vec{S}\, =\, c\, W\, \vec{n}\, =\, W\, \vec{c}\, .
                                                                                         \eqno (3.55)
$$

Последующий учет (3.12) и (3.50) приводит к дифференциальной форме закона сохранения  энергии
рассматриваемой полевой системы
$$
\partial_{\, t}\, W\, +\, div\, (W\, \vec{c}\, )\, =\, 0\, .  \eqno (3.56)
$$

%(3.51) и (3.54), в свою очередь, демонстрируют, что плотность полной энергии и плотность потока
%полной энергии излучения точечного электрического заряда определяются соответствующими плотностями
%энергии электрического поля, напряженность которого определена  соотношением $\vec{E}_{A}=\, -\, \partial_{\, 0}\vec{A}$.

Как и в \cite{La}, проинтегрировав уравнение (3.56) по замкнутой неподвижной области $\bar{\mathfrak{D}}$ конфигурационного пространства, в любой точке которой выполняется данное уравнение, 
и применив ко второму слагаемому полученного равенства формулу Гаусса\, --\, Остроградского, с последующим учетом соотношения (9) из \cite{Nov}, получаем стандартную интегральную форму закона
изменения \cite{Nev} энергии рассматриваемого излучения в данной фиксированной области $\bar{\mathfrak{D}}$, 
$$
\frac{d}{d\, t}\, W_{\bar{\mathfrak{D}}}\, :=\, \frac{d}{d\, t}\, \int_{\bar{\mathfrak{D}}}W\, d\, V\, =
\, -\, \int_{\partial\, \bar{\mathfrak{D}}}\vec{S}\cdot\vec{n}\, \, dS\, , 
$$
с соответствующей стандартной её интерпретацией.

С другой стороны, используя определение интегрального инварианта динамической системы \cite{Nem}, 
в рамках которого в качестве плотности интегрального инварианта выступает объемная плотность энергии
$W(x)$, удовлетворяющая тождественно уравнению (3.56), приходим к  интегральной форме закона сохранения
энергии в форме  Пуанкаре
$$
W_{\bar{\mathfrak{D}}_{t}}\, :=\, \int_{\bar{\mathfrak{D}}_{t}}W\, d\, V\, =
\, \int_{\bar{\mathfrak{D}}_{t_{0}}}W\, d\, V\, .
$$

В этом соотношении, $\bar{\mathfrak{D}}_{t}$\, --\, замкнутая область конфигурационного пространства, 
занимаемая континуумом точек в момент времени $t$, который, в начальный момент времени $t_{0}$, 
занимал область $\bar{\mathfrak{D}}_{t_{0}}$ \cite{Nem}.

Движение точек континуума определено решениями соответствующей нормальной системы дифференциальных
уравнений динамической системы, описывающей распространение рассматриваемого классического полевого
континуума \cite{Sed} в конфигурационном пространстве.

В случае континуума, моделирующего классическую механическую среду, подобную область называют
сопровождающей областью или индивидуальным "объемом\, " \cite{Sed}.

Таким образом, подобная форма записи закона сохранения энергии интерпретируется как закон сохранения
энергии, "заключенной\, "\, в подвижной области $\bar{\mathfrak{D}}_{t}$, сопровождающей рассматриваемое поле излучения в процессе его распространения в конфигурационном пространстве.

Аналогичные интегральные формы законов изменения и сохранения соответствующих энергий, для продольного
электроджейтонного и поперечного электромагнитоджейтонного излучений, следуют из соответствующих дифференциальных форм (3.12) и (3.50).

Использование (2.3), (3.6) и (3.45) приводит к равенствам
$$
\partial A\cdot\vec{E}_{A}\, =\, E_{A}^{\, \, 2}\, \, \vec{n}\, ,                  \eqno (3.57)
$$
$$
\partial A ^{\, 2}\, =\, E_{A}^{\, \, 2}\, ,                                  \eqno (3.58)
$$
представляющим (3.51) и (3.54) в виде соотношений
$$
\vec{S}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \partial A\cdot\vec{E}_{A}\, ,                    \eqno (3.59)
$$
$$
W\, =\, \frac{1}{8\, \pi}\, (\, E_{A}^{\, \, 2}\, +\, \partial A ^{\, 2}\, )\, ,               \eqno (3.60)
$$
демонстрирующих, в свою очередь, что данные динамические переменные, $\vec{S}(x)$ и $W(x)$, можно
рассматривать как динамические переменные волнового полевого комплекса $\{\vec{E}_{A}(x), \, \partial A(x)\}$.

Обосновывая далее возможность такой интерпретации, получим соотношения (3.59) и (3.60) традиционным
способом~ \cite{La}, использующим полевые уравнения, содержащие полевые переменные этого комплекса.

Такими уравнениями являются, неоднородное  уравнение  Даламбера для векторного потенциала, 
представленное, после учета соотношения (1.37), в виде
$$
\partial^{\, 0}\vec{E}_{A}\, +\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\partial A\, =\, -\, \frac{4\, \pi}{c}\, \vec{\jmath}\, ,                                       \eqno (3.61)
$$
и дифференциальная форма закона электродинамической индукции, представленная  уравнением~\cite{Al0}
$$
\partial^{\, 0}\partial A\, =\, -\, \partial E_{A}\, ,                         \eqno (3.62)
$$
где $\partial E_{A}(x)\, :=\, \vec{\bigtriangledown}\otimes\vec{E}_{A}(x)$ -- 3\, -\, градиент 3\, -\, векторного поля напряженности $\vec{E}_{A}(x)$.

После скалярного умножения обеих частей уравнения (3.61) на $\vec{E}_{A}(x)$, а обеих частей уравнения (3.62) на 3\, -\, тензор $\partial A(x)$ и последующего сложения левых и правых частей полученных
соотношений, приходим к равенству
$$
\partial^{\, 0}\, \frac{ E_{A}^{\, 2}+\partial A^{\, 2}}{2}\, +\, (\vec{\bigtriangledown}\cdot\partial A\, )\cdot\vec{E}_{A}\, +\, (\, \partial E_{A}, \, \partial A\, )=\, -\, \frac{4\, \pi}{c}\, \vec{\jmath}\cdot\vec{E}_{A}\, ,                  \eqno (3.63)
$$
дальнейшее использование в котором известной формулы тензорного анализа
$$
\vec{\bigtriangledown}\cdot(\, T\cdot\vec{a}\, )=\, (\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\, T)\cdot\vec{a}+
(\, T, \, \vec{\bigtriangledown}\otimes\vec{a}\, )\, ,                           \eqno (3.64)
$$
приводит к уравнению
$$
\partial_{\, t}\, \frac{ E_{A}^{\, 2}+\partial A^{\, 2}}{8\, \pi}\, +\, \frac{c}{4\, \pi}\, \vec{\bigtriangledown}\cdot(\, \partial A \cdot\vec{E}_{A})=\, -\, \vec{\jmath}\cdot\vec{E}_{A}\, ,                  \eqno (3.65)
$$
определяющему, в частности, соответствующие динамические переменные полевого комплекса $\{\vec{E}_{A}(x), \, \partial A(x)\}$, 
 $$
\vec{S}_{\partial A}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, \, \partial A\cdot\vec{E}_{A}\, ,                    \eqno (3.66)
$$
$$
W_{\partial A}\, =\, \frac{1}{8\, \pi}\, (\, E_{A}^{\, \, 2}\, +\, \partial A ^{\, 2}\, )\, ,           \eqno (3.67)
$$
правые части которых совпадают с правыми частями соотношений (3.59) и (3.60).

В силу взаимной ортогональности слагаемых правой части разложения (1.16), (3.60) принимает вид
$$
W_{\partial A}\, =\, \frac{1}{8\, \pi}\, (\, E_{A}^{\, \, 2}\, +\, \mathcal {F} ^{\, 2}+\, \mathcal G_d\, ^{\, 2}+\, \mathcal G_*\, ^{\, 2}\, )\, ,                                                                             \eqno (3.68)
$$
явно демонстрирующий, что мгновенная плотность энергии излучения точечного электрического заряда
представлена, в общем случае, наряду с плотностью энергии  электрического поля, определенного напряженностью  $\vec{E}_{A}(x)$, суммой плотностей энергий магнитного, девиатационного джейтонного и дилатационного джейтонного полей, определенных волновым полевым комплексом $\{\, \mathcal {F}(x), \, \mathcal G_d(x), \, \mathcal G_*(x)\}$, вследствие чего данное излучение  будем называть, в рамках данного контекста, \, \, {\em электромагнитоджейтонным} излучением.

Использование (1.16) в (3.59) представляет вектор мгновенной плотности потока энергии рассматриваемого
поля излучения в виде соотношения
$$
\vec{S}_{\partial A}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, (\mathcal {F}\cdot\vec{E}_{A}+
\mathcal G_d\cdot\vec{E}_{A}+\mathcal G_*\cdot \vec{E}_{A})\, ,                   \eqno (3.69)
$$
так же явно демонстрирующего полевое содержание плотности потока энергии излучения точечного электрического заряда.

В силу линейной зависимости слагаемых правых частей равенств (3.68) и (3.69), эти соотношения упрощаются
до (3.54) и (3.51), соответственно, представляя более простой, количественно эквивалентный {\em способ вычисления} этих динамических переменных.

Для упрощения дальнейших преобразований, удобно переписать (3.69) в виде
$$
\vec{S}_{\partial A}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, (\mathcal {F}\cdot\vec{E}_{A}+
\mathcal G\cdot\vec{E}_{A})\, .                                                \eqno (3.70)
$$

Первое слагаемое в скобках правой части этого соотношения, в силу (2.33), представляется равенством
$$
\mathcal {F}\cdot\vec{E}_{A}=\, \mathcal {F}^{\, t}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, t}+\, \mathcal {F}^{\, t}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \ell}\, .                                           \eqno (3.71)
$$

Второе слагаемое этих скобок, после учета тождества
$$
\mathcal G^{\, \ell}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, t}\equiv\vec{0}\, ,                    \eqno (3.72)
$$
принимает вид
$$
\mathcal G\cdot\vec{E}_{A}=\, \mathcal G_{d}^{\, \, t}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, t}+\mathcal G_{d}^{\, \, t}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, \ell}+\mathcal G_{d}^{\, \, \ell}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, \ell}+\mathcal G_{\ast}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, \ell}\, .                                           \eqno (3.73)
$$

(3.71) и (3.73), с учетом легко проверяемого соотношения
$$
\mathcal G_{d}^{\, \, t}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, \ell}=\, -\, \mathcal {F}^{\, t}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \ell}, 
                                                                                      \eqno (3.74)
$$
представляют (3.70) равенствами
$$
\vec{S}_{\partial A}\, =\, \frac{c}{4\, \pi}\, (\mathcal {F}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, t}+\, \mathcal G_{d}^{\, \, t}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, t})+\, \frac{c}{4\, \pi}\, (\mathcal G_{d}^{\, \, \ell}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, \ell}+\mathcal G_{\ast}\cdot\vec{E}_{A}^{\, \, \ell})=\, \vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}+\vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}\, ,                                               \eqno (3.75)
$$
слагаемые правой части которого совпадают с соотношениями (3.14) и (3.36), полученными
автономно, стартуя из систем уравнений (1.30) и (1.42), соответственно.

(3.75) одновременно показывает, что потоки, определяемые соотношениями (3.14) и (3.36), выступают в качестве составляющих плотности потока энергии, определяемой полевым
комплексом $\{\vec{E}_{A}(x), \, \partial\, A(x)\}$.

При этом, излучения, определяемые данными составляющими, $\vec{S}_{\mathcal F \, \mathcal G_{d}^{\, t}}(x)$ и $\vec{S}_{\mathcal G^{\, \ell}}(x)$, обладают тремя принципиально важными  отличительными признаками: направлением максимума диаграммы  направленности, поляризацией электрического поля и полевым содержанием, вследствие чего каждое из этих излучений имеет {\em самостоятельное физическое} значение, выражающееся, в частности, в  возможности {\em автономного} технического их использования \cite{Al6}, \, \cite{Al8}.    

С другой стороны, (3.68) и (3.75) демонстрируют так же, что {\em все три} составляющие
 3\, -\, тензора $\partial A(x)$, представленные слагаемыми правой части (1.16), принимают участие в формировании рассматриваемых динамических переменных излучений  пространственно ограниченных
 систем электрически заряженных частиц, придавая рассматриваемой теории соответствующую математическую полноту в отношении  использования {\em всех} видов полей определяемых слагаемыми  правой частью (1.16).

 В завершение данного раздела, уместно привести так же и способ вычисления рассматриваемых динамических переменных, стартуя с  уравнения (3.61), представленного в виде \cite{Al0}
 $$
 \partial^{\, 0}\vec{E}_{A}+\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal F+\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal G_{d}+\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal G_{\ast}\, =\, -\frac{4\, \pi}{c}\, \vec{\jmath}\, ,  \eqno (3.76)
 $$
с самого начала явно отражающего факт создания, током проводимости и соответствующим током смещения, не только магнитного поля, определенного  в этом уравнении 3\, -\, тензором $\mathcal F(x)$, но и джейтонных полей, представленных  3\, -\, тензорами $\mathcal G_{d}(x)$ и $\mathcal G_{\ast}(x)$.

После скалярного умножения обеих частей уравнения (3.76) на $\vec{E}_{A}(x)$ приходим к равенству
$$
\partial^{\, 0}\, \frac{E_{A}^{\, \, 2}}{2}+\, 
(\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal F\, )\cdot\vec{E}_{A}+\, (\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal G_{d}\, )\cdot\vec{E}_{A}+\, (\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal G_{\ast}\, )\cdot\vec{E}_{A}=\, -\frac{4\, \pi}{c}\, \vec{\jmath}\, \cdot\vec{E}_{A}\, .
                                                                                           \eqno (3.77)
$$

Согласно (3.64), второе слагаемое левой части уравнения (3.77) принимает вид
$$
(\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal F\, )\cdot\vec{E}_{A}\, =\, \vec{\bigtriangledown}\cdot(\mathcal F\cdot\vec{E}_{A})-\, (\mathcal F, \, \partial E_{A})\, .                                    \eqno (3.78)
$$

Учитывая (3.62), приходим к соотношениям
$$
(\mathcal F, \, \partial E_{A})=\, -\, (\mathcal F, \, \partial^{\, 0}\mathcal F )=\, -\, \partial^{\, 0}\, \, \frac{\mathcal F^{\, 2}}{2}\, ,                            \eqno (3.79)
$$
после использования которых, (3.78) представляется равенством
$$
(\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal F\, )\cdot\vec{E}_{A}\, =\, \vec{\bigtriangledown}\cdot(\mathcal F\cdot\vec{E}_{A})+\, \partial^{\, 0}\, \, \frac{\mathcal F^{\, 2}}{2}.                   \eqno (3.80)
$$

Аналогичной процедурой получаем выражения для третьего и четвертого слагаемых левой части уравнения (3.77)
$$
(\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal G_{d}\, )\cdot\vec{E}_{A}\, =\, \vec{\bigtriangledown}\cdot(\mathcal G_{d}\cdot\vec{E}_{A})+\, \partial^{\, 0}\, \, \frac{\mathcal G_{d}^{\, 2}}{2}\, ,               \eqno (3.81)
$$
$$
(\, \vec{\bigtriangledown}\cdot\mathcal G_{\ast}\, )\cdot\vec{E}_{A}\, =\, \vec{\bigtriangledown}\cdot(\mathcal G_{\ast}\cdot\vec{E}_{A})+\, \partial^{\, 0}\, \, \frac{\mathcal G_{\ast}^{\, 2}}{2}\, .           \eqno (3.82)
$$

В итоге, (3.77) принимает вид соотношения (теоремы), представляющего (представляющей) собой дифференциальную форму закона изменения  энергий рассматриваемых полей, 
$$
\partial_{\, t}\, \frac{ E_{A}^{\, 2}+\mathcal F^{\, 2}+\mathcal G_{d}^{\, 2}+\mathcal G_{\ast}^{\, 2}}{8\, \pi}\, +\, \frac{c}{4\, \pi}\, \vec{\bigtriangledown}\cdot(\mathcal F\cdot\vec{E}_{A}+\mathcal G_{d}\cdot\vec{E}_{A}+\mathcal G_{\ast}\cdot\vec{E}_{A})=\, -\, \vec{\jmath}\, \cdot\vec{E}_{A}\, ,                  \eqno (3.83)
$$
и определяющего, одновременно, динамические переменные полевого комплекса $\{\vec{E}_{A}(x), \, \mathcal F(x), \, \mathcal G_{d}(x), \, \mathcal G_{\ast}(x)\}$, представленные соотношениями (3.68) и (3.69).

(3.83) мгновенно сворачивается до уравнения (3.65), определяющего динамические переменные (3.66) и (3.67).

\section{Угловые распределения мгновенных мощностей излучения точечного электрического заряда}

\subsection*{\S \, 4. Угловые распределения мгновенных мощностей излучения точечного заряда при нерелятивистском движении этого заряда. Формулы Лармора.}

\addcontentsline{toc}{subsection}{\S\, 4. Угловые распределения мгновенных  мощностей излучения точечного заряда при нерелятивистском движении этого заряда. Формулы Лармора.}

\setcounter{section}{4}
\setcounter{figure}{0}

\qquad
Элементарная мгновенная мощность (элементарная мгновенная интенсивность \cite{La}\, )\, излучения, 
протекающего через элементарный участок шаровой поверхности радиуса $R(t\, \acute{}\, )$ с центром
 в точке нахождения заряда в момент времени $t\, \acute{}\, =\, t-R(t\, \acute{}\, )/c$\, и регистрируемая  в точке наблюдения в момент времени $t$, определяется соотношением
$$
dP(t)\, =\, (\, \vec{S}\cdot\vec{n})\, R^{\, 2}\, d\, \Omega\, .         \eqno (4.1)
$$

В целях упрощения  записей, аргумент $t$ в символах $dP(t)$ далее будет опускаться.

Последовательная подстановка  (3.33), (3.43) и (3.53) в (4.1), с последующим  учетом (3.41), 
приводит, соответственно, к следующим соотношениям, определяющим, в  частности, угловые распределения рассматриваемых  мгновенных мощностей излучений точечного электрического  заряда при его нерелятивистском движении
$$
dP_{\, \mathcal{G}^{\ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \cos^{\, 2}\theta\, \, d\, \Omega\, , 
                                                                                 \eqno (4.2)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, \frac{e^{\, 2}\dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \sin^{\, 2}\theta\, \, d\, \Omega\, , 
                                                                                 \eqno (4.3)
$$
$$
dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, d\, \Omega\, , 
                                                                                 \eqno (4.4)
$$
$$
dP_{\mathcal{\, F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, ,                                                \eqno (4.5)
$$
где $\theta$\, --\, угол между векторами $\dot{\vec{\beta}}$ и $\vec{n}$\, .

Правая часть  соотношения (4.3), определяющего элементарную мгновенную мощность поперечного электромагнитоджейтонного излучения точечного электрического заряда при его нерелятивистском движении, 
 в точности совпадает с правой частью хорошо известного соотношения, определяющего элементарную мгновенную  мощность электромагнитного излучения такого заряда, получаемого  в рамках традиционной классической теории электромагнетизма \cite{Jack}.

Согласно  соотношений (4.2) и (4.3), меридиональное сечение пространственных диаграмм направленности элементарных мгновенных мощностей продольного электроджейтонного и поперечного электромагнитоджейтонного  излучений точечного электрического заряда, при его нерелятивистском движении, имеет вид, представленный на рис.\, 4.1.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=65mm]{ris_4_1.jpg}
\vspace{+10pt}
\caption{Меридиональное сечение пространственных  диаграмм направленности элементарных мгновенных мощностей продольного электроджейтонного и поперечного электромагнитоджейтонного излучений нерелятивистского точечного электрического заряда.}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}

Символами $g_{0}(\theta)$  и  $f_{0}(\theta)$\, на рис.\, 4.1\, , обозначены формулы диаграмм направленности
мощностей излучений, определяемые вторыми сомножителями правых частей соотношений (4.2) и (4.3), соответственно.

Существование продольного электроджейтонного   излучения, представленного в данном случае  соотношением (4.2), приводит, в частности, как к необходимости коррекции в расчетах излучений существующих антенных  систем, в которых стандартное электромагнитное излучение выступает в качестве полезного сигнала, так и к возможности создания электрических систем, в которых в качестве полезного сигнала используется продольное электроджейтонное излучение.

 Изотропия {\em суммарного} излучения, представленного соотношением (4.4), приводит и
 к изотропии {\em суммарного}  излучения классических {\em элементарных} электрических излучателей антенн.

 При переходе к протяженным антеннам, возникновение нетривиального формфактора диаграммы направленности
 (множителя системы \cite{Eis}), обусловленного конструкцией антенны и амплитудно\, -\, фазовыми соотношениями  между токами возбуждения элементарных излучателей данной антенны, приводит к анизотропии и суммарного  излучения тоже.

 Последовательные интегрирования соотношений (4.2)\, --\, (4.5) по полному телесному углу приводят к
 следующим выражениям для полных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений нерелятивистского точечного  электрического заряда.
$$
P_{\, \mathcal{G}^{\ell}}\, =\, \frac{1}{3}\, \frac{e^{\, 2}\dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, ,   \eqno (4.6)
$$
$$
P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, \frac{2}{3}\, \frac{e^{\, 2}\dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, ,                       \eqno (4.7)
$$
$$
P\, =\, \frac{e^{\, 2}\dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, ,                     \eqno (4.8)
$$
$$
P_{\mathcal{\, F}}\, =\, \frac{1}{2}\, P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, P_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                 \eqno (4.9)
$$

Правая часть соотношения (4.7), как видим, является правой частью известной формулы Лармора.

Однако левая часть этого соотношения говорит о том, что  данная формула определяет мгновенную
мощность, являющуюся {\em суммой} мгновенных  мощностей: мгновенной мощности поперечного электромагнитного и мгновенной мощности поперечного электроджейтонного  излучений генерируемых рассматриваемым электрическим    зарядом.

В свою очередь, сопоставление (4.7) и  (4.8) одновременно вскрывает физический смысл "вездесущего"\, 
числового коэффициента 2/3\, в формуле Лармора \, --\, теперь этот коэффициент говорит о том, что
только 2/3\, от суммарной мгновенной мощности излучения, представленной соотношением (4.8), 
переносится поперечным полевым комплексом $\{\vec{E}_{A}^{\, t}(x), \, \mathcal   F(x), \, \mathcal G_{d}^{\, t}(x)\}$ (поперечной электромагнитоджейтонной волной).

Аналогично, сопоставление соотношений (4.6) и (4.8) вскрывает физическое содержание коэффициента
 1/3\, в формуле (4.6) \, --\, данный коэффициент говорит о том, что  1/3\, от
 суммарной мгновенной мощности излучения, представленной соотношением (4.8), переносится продольным полевым комплексом  $\{\vec{E}_{A}^{\ell}(x), \mathcal G_{d}^{\ell}(x), \mathcal G_{\ast}(x)\}$
 (продольной электроджейтонной волной).

\subsection*{ 4.1.Угловые распределения мгновенных мощностей дипольного излучения системы электрических зарядов}

\addcontentsline{toc}{subsection}{4.1. Угловые распределения мгновенных мощностей дипольного излучения системы электрических зарядов.}

\qquad
 Рассмотренный анализ излучения точечной электрически заряженной частицы легко распространяется на
 дипольное излучение {\em системы} нерелятивистских электрических зарядов.

На расстояниях значительно превышающих размеры системы движущихся нерелятивистских электрически заряженных частиц векторный и скалярный потенциалы, генерируемые дипольным электрическим моментом такой системы, 
представляются известными  соотношениями \cite{La}

$$
\vec{A}\, =\, \frac{\dot{\vec{d}}}{c\, r}\, ,       \eqno (4.10)
$$
$$
\varphi=-\, div\, \frac{\vec{d}}{r}\, ,         \eqno (4.11)
$$
где $\vec{d}$\, --\, электрический дипольный момент системы данных частиц в момент времени
$t\, \acute{}\, =\, t-r/c$.

Выполнив соответствующие дифференцирования этих потенциалов, получаем  следующие выражения для слагаемых полевых переменных зависящих\, от\, $\ddot{\vec{d}}\, (t\, \acute{}\, )$

$$
\partial A=-\, \frac{1}{c^{\, 2}\, r}\, (\, \vec{n}\otimes \ddot{\vec{d}}\, \, )\, ,   \eqno (4.12)
$$
$$
\vec{E}_{A}=-\, \frac{1}{c^{\, 2}\, r}\, \ddot{\vec{d}}=-\frac{1}{c^{\, 2}\, r}\, 
\{\, \vec{n}\times(\, \ddot{\vec{d}}\times\vec{n})+(\, \vec{n}\cdot\ddot{\vec{d}}\, \, )\, \vec{n}\, \}\, , 
                                                                                             \eqno (4.13)
$$
$$
\vec{E}_{\, \varphi}\, =\, \frac{1}{c^{\, 2}\, r}\, (\, \vec{n}\cdot\ddot{\vec{d}}\, \, )\, \vec{n}\, , 
                                                                                            \eqno (4.14)
$$
в которых $\vec{n}\, =\, \vec{r}/r$.

В свою очередь, подстановка (4.13) и (4.14) в (1.20) и (1.23) приводит к  выражениям для напряженностей электрических полей дипольного излучения, созданного рассматриваемой классической системой точечных электрически заряженных частиц
$$
\vec{E}_{\, \mathcal{F}}=-
\frac{1}{2\, c^{\, 2}\, r}\, \{\, (\vec{n}\times\ddot{\vec{d}}\, )\times\vec{n}\, \}\, ,      \eqno (4.15)
$$
$$
\vec{E}_{\, \mathcal{G}}=-
\frac{1}{2\, c^{\, 2}\, r}\, \{\, (\vec{n}\times\ddot{\vec{d}}\, )\times\vec{n}\, +
\, 2\, (\, \vec{n}\cdot\ddot{\vec{d}}\, \, )\, \vec{n}\, \}\, .                                     \eqno (4.16)
$$

Использование соотношений (4.13)  приводит к следующим выражениям  для мгновенных значений векторов плотностей потоков соответствующих энергий
$$
\vec{S}_{\, \mathcal{G}^{\, \ell}}\, =
\, \frac{1}{4\, \pi\, c^{\, 3}\, r^{\, 2}}\, \, |\, (\, \vec{n}\cdot\ddot{\vec{d}}\, \, )\, \vec{n}\, |^{\, 2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                         \eqno (4.17)
$$
$$
\vec{S}_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, \, t}}\, =
\, \frac{1}{4\, \pi\, c^{\, 3}\, r^{\, 2}}\, \, |\, (\vec{n}\times\ddot{\vec{d}}\, )\times\vec{n}\, |^{\, 2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                         \eqno (4.18)
$$
$$
\vec{S}\, =
\, \frac{1}{4\, \pi\, c^{\, 3}\, r^{\, 2}}\, \, \ddot{\vec{d}}\, ^{\, \, 2}\, \vec{n}\, , 
                                                                                         \eqno (4.19)
$$
$$
\vec{S}_{\mathcal{F} }\, =\, \frac{1}{2}\, \vec{S}_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, \, t}}\, =
\, \vec{S}_{\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                    \eqno (4.20)
$$

(4.17)\, --\, (4.20), в свою очередь, приводят, согласно  (4.1), к соотношениям, определяющим
 угловые распределения  рассматриваемых  элементарных мгновенных мощностей дипольного излучения рассматриваемой системы электрически заряженных частиц
$$
dP_{\, \mathcal{G}^{\ell}}\, =
\, \frac{\ddot{\vec{d}}\, ^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c^{\, 3}}\, \cos^{\, 2}\theta\, \, d\, \Omega\, ,       \eqno (4.21)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, \frac{\ddot{\vec{d}}\, ^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c^{\, 3}}\, \sin^{\, 2}\theta\, \, d\, \Omega\, ,       \eqno (4.22)
$$
$$
dP\, =\, \frac{\ddot{\vec{d}}\, ^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c^{\, 3}}\, \, d\, \Omega\, ,                 \eqno (4.23)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, ,                                                          \eqno (4.24)
$$
где $\theta$ \, --\, угол между векторами $\ddot{\vec{d}}$ и $\vec{n}$\, .

Вновь отмечаем, что правая часть соотношения (4.22) в точности совпадает с правой частью
формулы (67.7) из \cite{La}.

При этом, данное соотношение  говорит о том, что эта формула определяет
 элементарную мгновенную интенсивность, являющуюся {\em суммой} элементарных мгновенных интенсивностей поперечного электромагнитного и поперечного электроджейтонного излучений, создаваемых электрическим  дипольным моментом рассматриваемой системы электрически заряженных частиц.

Согласно  (4.21) и (4.22), меридиональное сечение пространственных диаграмм направленности
мгновенных мощностей продольного электроджейтонного и поперечного электромагнитоджейтонного излучений, генерируемых  дипольным электрическим моментом рассматриваемой системы частиц, имеет вид представленный на рис.\, 4.2.
\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=65mm]{ris_4_2.jpg}
\vspace{+10pt}
\caption{Меридиональное сечение пространственных диаграмм направленности элементарных мгновенных мощностей
продольного электроджейтонного и поперечного электромагнитоджейтонного излучений обусловленных  дипольным электрическим моментом системы.}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}

Последовательные интегрирования соотношений (4.21)\, --\, (4.24) по полному телесному углу приводят к
соответствующим выражениям для полных мгновенных мощностей излучений обусловленных дипольным
электрическим моментом системы рассматриваемых зарядов
$$
P_{\, \mathcal{G}^{\ell}}\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{\ddot{\vec{d}}\, ^{\, \, 2}}{c^{\, \, 3}}\, , \eqno (4.25)
$$
$$
P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{2}{3}\, \, \frac{\ddot{\vec{d}}\, ^{\, \, 2}}{c^{\, 3}}\, , 
                                                                                              \eqno (4.26)
$$
$$
P\, =\, \frac{\ddot{\vec{d}}\, ^{\, \, 2}}{c^{\, 3}}\, ,                       \eqno (4.27)
$$
$$
P_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, P_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                           \eqno (4.28)
$$

Комментарии к соотношениям (4.25)\, --\, (4.28) идентичны комментариям к равенствам (4.6)\, --\, (4.9).

%Возвращаясь к анализу излучения точечного заряда, рассмотрим, следуя \cite{Jack6}, обобщение  соотношения  (4.8) на случай произвольной скорости движения точечной электрически заряженной частицы.

%Переписав (4.8) в виде
%$$
%P\, =\, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\left(\frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{2},               \eqno (4.29)
%$$
%приходим к  лоренц\, -\, инвариантному выражению для полной мгновенной мощности полного
%излучения точечного  электрического заряда
%$$
%P\, =\, -\, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 2}}\left(\frac{dp}{d\tau}\, \right)^{2}\, ,               \eqno (4.30)
%$$
%где $p$\, \, --\, \, 4\, -\, импульс рассматриваемой частицы, контравариантные компоненты которого, в условных
%обозначениях \cite{La8}, определены соотношениями $p^{\, \mu}\, =\, \left(\, \mathcal{E}/c, \, \vec{p}\, \right)$.

%Представление второго множителя правой части (4.30) в виде
%$$
%\left(\frac{dp}{d\tau}\, \right)^{2}\, =
%\, \frac{1}{c\, ^{2}}\, \left(\, \frac{d\mathcal{E}}{d\tau}\, \right)^{2}\, -
%\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{d\tau}\, \right)^{2}\, ,                                           \eqno (4.31)
%$$
%и последующий учет соотношений
%$$
%\frac{d\vec{p}}{d\tau}\, =\, c\, m\, \gamma^{\, 2}\, \left(\, \dot{\vec{\beta}}+
%\gamma^{\, 2}\, (\, \vec{\beta}\cdot\dot{\vec{\beta}}\, )\, \vec{\beta}\, \right)\, ,                \eqno (4.32)
%$$
%$$
%\frac{d\mathcal{E}}{d\tau}\, =
%\, c^{\, 2}\, m\, \gamma^{\, 4}\, (\, \vec{\beta}\cdot\dot{\vec{\beta}}\, )\, ,                        \eqno %(4.33)
%$$
%позволяет переписать (4.30) в форме Лиенара\, --\, Хевисайда
%$$
%P\, =\, \frac{e^{\, 2}}{c}\, \gamma^{\, 6}\, \left\{\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}\, -
%\, (\, \dot{\vec{\beta}}\times\vec{\beta}\, )^{\, 2}\right\}\, .                              \eqno (4.34)
%$$

%Релятивистские обобщения соотношений (4.6) и (4.7), отличающиеся от (4.9) лишь числовыми коэффициентами, 
%в рассматриваемой форме, совместно с учетом равенств (4.9), имеют вид соотношений
%$$
%P_{\mathcal{G}^{\ell}}\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{c}\, \gamma^{\, 6}\, \left\{\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}\, -
%\, (\, \dot{\vec{\beta}}\times\vec{\beta}\, )^{\, 2}\right\}\, .                              \eqno (4.35)
%$$
%$$
%P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
%\, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{c}\, \gamma^{\, 6}\, \left\{\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}\, -
%\, (\, \dot{\vec{\beta}}\times\vec{\beta}\, )^{\, 2}\right\}\, ,                             \eqno (4.36)
%$$
%$$
%P_{\mathcal{\, F}}\, =\, \frac{1}{2}\, P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
%\, P_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                          \eqno (4.37)
%$$
%во втором из которых правая часть представлена правой частью известного релятивистского обобщения
%формулы Лармора  \cite{Jack7}.

%Для дальнейшего анализа удобно, воспользовавшись соотношением
%$$
%\frac{d\mathcal{E}}{d\tau}\, =\, c\, \beta\, \frac{d\, |\vec{p}\, |}{d\tau}\, ,        \eqno (4.35)
%$$
%представить (4.31) так же в виде
%$$
%\left(\frac{dp}{d\tau}\, \right)^{2}\, =
%\, \beta^{\, 2}\, \left(\, \frac{d\, |\vec{p}\, |}{d\tau}\, \right)^{2}\, -
%\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{d\tau}\, \right)^{2}\, .                                             \eqno (4.36)
%$$

%Как и в \cite{Jack6}, рассмотрим далее два практически важных частных случая, когда, в момент излучения, 

 %$$
% \left(\frac{dp}{d\tau}\, \right)^{2}\, =
% \, -\, \frac{1}{\gamma^{\, 2}}\, \left(\, \frac{d\, |\vec{p}\, |}{d\tau}\, \right)^{2}\, =
 %\, -\, \frac{1}{\gamma^{\, 2}}\, \left(\, \frac{d\, \vec{p}}{d\tau}\, \right)^{2}\, ,               \eqno (4.37)
 %$$
 %использование которых в (4.30), с учетом равенства
% $$
% \frac{d\, |\vec{p}\, |}{d\tau}\, =\, \gamma\, \, \frac{d\, \mathcal{E}}{d\ell}\, ,            \eqno (4.38)
% $$
 %дает следующие выражения для мгновенной полной мощности излучения рассматриваемой релятивистской частицы
%$$
% P_{coll}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, 
 %\left(\, \frac{d\, \mathcal{E}}{d\ell}\, \right)^{2}\, ,                                       \eqno (4.39)
%$$
%$$
% P_{coll}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}\, \gamma^{2}}\, 
% \left(\, \frac{d\, \vec{p}}{d\tau}\, \right)^{2}\, .                                        \eqno (4.40)
%$$

%Согласно (4.34), данная мощность представляется так же соотношением
%$$
%P_{coll}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{c}\, \gamma^{\, 6}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}\, .                \eqno (4.41)
%$$

%Во втором случае, (4.36) принимает вид соотношения
%$$
%\left(\frac{dp}{d\tau}\, \right)^{2}\, =\, -\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{d\tau}\, \right)^{2}\, ,    \eqno (4.42)
%$$
%использование которого в (4.30) приводит к следующему представлению мгновенной полной мощности
%излучения рассматриваемой релятивистской частицы в данном частном случае
%$$
%P_{norm}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{d\tau}\, \right)^{2}\, .  \eqno (4.43)
%$$

%Согласно (4.32), данная мощность представляется так же соотношением
%$$
%P_{norm}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{c}\, \gamma^{\, 4}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}\, .                \eqno (4.44)
%$$

%Сопоставление (4.40) с (4.43) показывает, что при одинаковой величине силы, приложенной к частице, 
%$$
%P_{norm}\, =\, \gamma^{\, 2}\, P_{coll}\, .                                             \eqno (4.45)
%$$

\subsection*{\S \, 5. Угловые распределения мгновенных мощностей излучений точечного электрического заряда при релятивистском движении этого заряда. Явление доминантности продольного электроджейтонного излучения ультрарелятивистских частиц\, .}

\addcontentsline{toc}{subsection}{\S\, 5. Угловые распределения мгновенных мощностей излучений точечного электрического заряда при релятивистском  движении этого заряда. Явление доминантности продольного электроджейтонного излучения ультрарелятивистских частиц\, .}

\setcounter{section}{5}
\setcounter{figure}{0}

\qquad  Элементарная мгновенная мощность излучения, как функция собственного времени рассматриваемого заряда, определяется соотношением \cite{Jack3}
$$
dP(t\, \acute{}\, )\, =
\, (\, 1-\, \vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )\, (\, \vec{S}\cdot\vec{n}\, )\, R^{\, 2}\, d\, \Omega\, .         \eqno (5.1)
$$

Вновь, в целях упрощения  записей, аргумент $t\, \acute{}$ в символах $dP(t\, \acute{}\, )$ далее будет опускаться.

Последовательное использование (3.33), (3.43) и (3.53) в (5.1), с последующим учетом (3.41), приводит, соответственно, к соотношениям
$$
dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{4\, \pi\, c\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{5}}\, 
|\, \vec{n}\cdot\dot{\vec{\beta}}\, |^{\, 2}\, d\, \Omega\, ,                                        \eqno (5.2)
$$
$$
dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}}{4\, \pi\, c\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{5}}\, 
|\, \vec{n}\times(\, \dot{\vec{\beta}}\times\vec{n}\, )+
\, \vec{n}\times(\, \vec{\beta}\times\dot{\vec{\beta}}\, )\, |^{\, 2}\, d\, \Omega\, ,                 \eqno (5.3)
$$
$$
dP\, =\, \frac{e^{\, 2}}{4\, \pi\, c\, (1-\vec{n}\cdot\vec{\beta}\, )^{5}}\, 
|\, \dot{\vec{\beta}}+
\, \vec{n}\times(\, \vec{\beta}\times\dot{\vec{\beta}}\, )\, |^{\, 2}\, d\, \Omega\, ,               \eqno (5.4)
$$
$$
dP_{\mathcal{\, F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                             \eqno (5.5)
$$

При этом так же отмечаем, что правая часть соотношения (5.3), определяющего элементарную мгновенную мощность поперечного электромагнитоджейтонного излучения точечного электрического заряда, 
 совпадает с правой частью  соотношения, представляющего элементарную мгновенную мощность электромагнитного излучения точечного заряда и полученного в рамках традиционной теории электромагнитного поля\, \cite{Jack}.

 Рассмотрим два практически важных частных случая, когда, в момент излучения, 
 $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$ и когда, в такой момент, $\dot{\vec{\beta}}\, norm \, \vec{\beta}$.

 {\em В первом случае}\, , (5.2)\, --\, (5.5) приводят к следующим соотношениям, определяющим, в частности, 
 угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений, качественно
 графически представленных диаграммами на рис.\, 5.1, 
$$
 dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{\cos^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, ,                \eqno (5.6)
$$
$$
 dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{\sin^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, ,               \eqno (5.7)
$$
$$
 dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, ,                   \eqno (5.8)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                           \eqno (5.9)
$$

Тут и далее символом $\theta$ обозначен угол между векторами $\vec{\beta}$ и $\vec{n}$.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=150mm]{ris_5_1.jpg}
\vspace{+10pt}
\caption{Меридиональные сечения пространственных диаграмм направленности элементарных мгновенных мощностей излучений точечного электрического заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, \uparrow\uparrow\, \vec{\beta}$\, , для нерелятивистского, a), и релятивистского (\, при $\beta\, \sim\, 0.3$\, ), b) и c), движений этого заряда.}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}

Символами $g(\theta, \beta)$, $f(\theta, \beta)$ и $t(\theta, \beta)$, на рис.\, 5.1, обозначены формулы
диаграмм направленности \cite{Eis} мощностей излучений, определенные вторыми сомножителями правых
частей соотношений (5.6), (5.7) и (5.8), соответственно.

Масштаб  диаграммы а)  уменьшен по отношению к масштабу  диаграмм b) и  c) приблизительно в 6 раз при том же значении ускорения.

Диаграмма рис.\, 5.1\, b) {\em наглядно} демонстрирует существование {\em продольного} электроджейтонного излучения (электроджейтонного излучения с {\em продольной} поляризацией напряженности  электрического поля), представленного на данной диаграмме задним и  {\em главным} лепестками, с максимумом плотности энергии  в направлении вектора $\vec{\beta}$, превосходящим  максимум плотности энергии известного, в целом, поперечного электромагнитоджейтонного излучения, представленного, на этой диаграмме, {\em боковыми} лепестками.

%В связи с тем, что, согласно (4.42), полная мгновенная мощность излучения, в рассматриваемом  случае, пропорциональна $d\mathcal{E}/d\ell$, то экспериментальное обнаружение продольного электроджейтонного излучения может быть осуществлено, в первую очередь, в процессах с большими линейными градиентами энергии частицы, например, в   тормозном излучении электрически заряженных частиц, при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$.

Последовательное интегрирование соотношений (5.6)--(5.9) по полному телесному углу приводит к следующим
выражениям для полных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений точечного электрического заряда
в данном случае
$$
P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, \, (\, 1+
5\, \beta^{\, 2}\, )\, \, \gamma^{\, 8}\, ,                                                        \eqno (5.10)
$$
$$
P_{\mathcal{F}G_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, \, \gamma^{\, 6}\, , 
                                                                                               \eqno (5.11)
$$
$$
P\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, \, (\, 1+\beta^{\, 2}\, )\, \, \gamma^{\, 8}\, , 
                                                                                              \eqno (5.12)
$$
$$
P_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, P_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                           \eqno (5.13)
$$

Сопоставление (5.10) и (5.11) приводит к соотношению
$$
P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{1+5\, \beta^{\, 2}}{2}\, \gamma^{\, 2}\, P_{\mathcal{F}G_{d}^{\, t}}\, , 
                                                                                           \eqno (5.14)
$$
демонстрирующему, что в данном случае, при $\beta>\sqrt{7}/7$\, , мгновенная мощность {\em продольного
электроджейтонного} излучения релятивистской электрически заряженной частицы в
$(1+5\, \beta^{\, 2})\, \gamma^{\, 2}/2$ раз {\em превышает}  мгновенную мощность поперечного
электромагнитоджейтонного излучения этой частицы, становясь {\em доминирующей}\, в ультрарелятивистском
случае.

Различие значений рассматриваемых мощностей, при различных значениях $\beta$, обусловлено различием
значений соответствующих сомножителей при $e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}/c$ в выражениях
правых частей соотношений (5.10)--(5.12), то есть, различием значений следующих функций
$$
g(\beta)\, :=\, \frac{1}{3}\, \, \frac{1+5\, \beta^{\, 2}}{(\, 1-\beta^{\, \, 2}\, )^{\, 4}}\, ,    \eqno (5.15)
$$
$$
f(\beta)\, :=\, \frac{2}{3}\, \, \frac{1}{(\, 1-\beta^{\, \, 2}\, )^{\, 3}}\, ,    \eqno (5.16)
$$
$$
t(\beta)\, :=\, \frac{1+\beta^{\, 2}}{(\, 1-\beta^{\, \, 2}\, )^{\, 4}}\, .     \eqno (5.17)
$$

На рис.\, 5.2 приведены графические представления функций $g(\beta)$ и $f(\beta)$ в интервале
значений $\beta\in[\, 0\, , \, 0.8\, ]$ и графическое представление функции $k(\beta):=g(\beta)/f(\beta)=P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}/P_{\mathcal{F}G_{d}^{\, t}}$  в  интервале
значений $\beta\in[\, 0.90\, , \, 0.99\, ]$.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_5_2.jpg}
\vspace{+10pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}


{\em Во втором случае}\, , (5.2)\, --\, (5.5) приводят к следующим соотношениям, определяющим, в частности, 
 угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых
 излучений  в {\em соприкасающейся} плоскости $\mathcal{Q}(t^{\, \acute{}}\, )$ $(\varphi\, =\, 0)$, качественно графически представленных диаграммами на рис.\, 5.3, 
$$
 dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{\sin^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, ,                \eqno (5.18)
$$
$$
 dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{(\, \cos\theta-\beta)^{\, 2}}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, , 
                                                                                             \eqno (5.19)
$$
$$
 dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{(\, \cos\theta-\beta)^{\, 2}+\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, , 
                                                                                            \eqno (5.20)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                           \eqno (5.21)
$$
\\
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=160mm]{ris_5_3.jpg}
\vspace{+10pt}
\caption{Сечения соприкасающейся плоскостью пространственных диаграмм направленности мгновенных значений  мощностей излучений точечного электрического заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, norm\, \vec{\beta}$\, , для
нерелятивистского, a), и релятивистского (\, $\beta\, \sim\, 0.3$\, ), b) и c), движений этого заряда.}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}

Символами $g(\theta, \beta)$, $f(\theta, \beta)$ и $t(\theta, \beta)$, на рис.\, 5.3, обозначены формулы
диаграмм направленности мгновенных мощностей излучений, определенные вторыми сомножителями правых частей  соотношений (5.18), (5.19) и (5.20), соответственно.

Масштаб  диаграммы а)  уменьшен по отношению к масштабу диаграмм b) и  c) приблизительно в 3 раза при том же значении ускорения.

Диаграмма рис.\, 5.3\, b) наглядно демонстрирует наличие известного, в целом, поперечного электромагнитоджейтонного излучения, представленного на данной диаграмме задним и  {\em главным} лепестками, с максимумом плотности энергии  в направлении вектора $\vec{\beta}$, превосходящим, в данном
случае, максимум плотности энергии продольного  электроджейтонного излучения, представленного, на этой диаграмме, {\em боковыми} лепестками.

%Экспериментальное обнаружение такого электроджейтонного излучения может быть осуществлено, например, в синхротронном излучении частиц в циклических ускорителях.

После выбора в качестве декартовой системы координат сопутствующую прямоугольную декартову систему координат, орты которой определены естественным трехгранником Френе \cite{Nev} и при этом  так, что
$\vec{e_{z}}=\vec{\tau}=\vec{\beta}/\beta$ (Фиг.\, 14.6 из \cite{Jack}), будем иметь, в данном случае, соотношение
$$
\cos\Theta\, =\, \sin\theta\, \cos\varphi\, ,                                           \eqno (5.22)
$$
в котором $\Theta$\, --\, угол между векторами $\vec{n}$ и $\dot{\vec{\beta}}$\, .

 Использование (5.22) в  (5.2)\, --\, (5.5) приводит к следующим равенствам, определяющим угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений при любом значении азимутального угла $\varphi$, 
$$
 dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\, \, d\, \Omega\, , 
                                                                                         \eqno (5.23)
$$
$$
 dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 3}}-\frac{(1-\beta^{\, 2})\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-
 \beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\right)\, d\, \Omega\, , 
                                                                                             \eqno (5.24)
$$
$$
 dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 3}}+\frac{\beta^{\, 2}\, \sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-
 \beta\, \cos\theta\, )^{\, 5}}\right)\, d\, \Omega\, , 
                                                                                             \eqno (5.25)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                           \eqno (5.26)
$$

При этом вновь отмечаем совпадение правой части равенства (5.24) с правой частью соответствующего соотношения, определяемого формулой (14.44) из \cite{Jack}.

Последовательное интегрирование равенств (5.23)\, --\, (5.26) по полному телесному углу приводит к следующим выражениям для  мгновенных мощностей  рассматриваемых излучений точечного электрического заряда в данном случае
$$
P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, \, \gamma^{\, 6}\, , 
                                                                                            \eqno (5.27)
$$
$$
P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, \, \gamma^{\, 4}\, ,        \eqno (5.28)
$$
$$
P\, =\, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{c}\, (\, 3-2\, \beta^{\, 2}\, )\, \gamma^{\, 6}\, , 
                                                                                            \eqno (5.29)
$$
$$
P_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, P_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, P_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, ,                                                          \eqno (5.30)
$$
с ожидаемым совпадением  правой части соотношения (5.28)  с правой частью соотношения (14.46) из \cite{Jack}, определяющего полную мгновенную мощность  электромагнитного излучения точечного электрического заряда в рассматриваемом  случае.

Сопоставление (5.27) и (5.28) приводит к соотношению
$$
P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =
\, \frac{1}{2}\, \gamma^{\, 2}\, P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, ,             \eqno (5.31)
$$
демонстрирующему, что, в данном случае, при $\beta>\sqrt{2}/2$\, , мгновенная мощность
{\em продольного электроджейтонного} излучения релятивистской электрически заряженной частицы в $\gamma^{\, 2}/2$ раз {\em превышает} мгновенную мощность поперечного электромагнитоджейтонного излучения этой частицы, становясь, как и при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$, {\em доминирующей} в ультрарелятивистском случае.

Различие значений рассматриваемых мощностей при различных значениях $\beta$ обусловлено различием
значений соответствующих сомножителей при $e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}/c$\, в выражениях правых частей соотношений (5.27)\, --\, (5.29), то есть, различием значений следующих  функций
$$
g(\beta):=\, \frac{1}{3}\, \, \frac{1}{(\, 1-\beta^{\, 2}\, )^{3}}\, ,                       \eqno (5.32)
$$
$$
f(\beta):=\, \frac{2}{3}\, \, \frac{1}{(\, 1-\beta^{\, 2}\, )^{2}}\, ,                         \eqno (5.33)
$$
$$
t(\beta):=\, \frac{1}{3}\, \, \frac{3-2\, \beta^{\, 2}}{(\, 1-\beta^{\, 2}\, )^{3}}\, .           \eqno (5.34)
$$

На рис.5.4 приведены графические представления функций $g(\beta)$ и $f(\beta)$  в интервале значений
$\beta\in[\, 0\, , \, 0.8\, ]$ и графическое представление функции $k(\beta):=g(\beta)/f(\beta)=P_{\mathcal{G}^{\, \ell}}/P_{\mathcal{F}G_{d}^{\, t}}$
в интервале значений  $\beta\in[\, 0.90\, , \, 0.99\, ]$.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_5_4.jpg}
\vspace{+10pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}

В свою очередь, (5.10)\, --\, (5.12) и (5.27)\, --\, (5.29), после учета соотношений (9.2) и (9.3) из \cite{La}, определяющих связь сил, действующих на частицу, и соответствующих ускорений этой частицы в
случаях, когда скорость  частицы изменяется только по направлению и когда  скорость частицы
изменяется только по величине, приводят к следующим представлениям рассматриваемых мгновенных
мощностей в данных частных случаях
$$
P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, norm}\, =
\, \frac{1}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 4}\, 
\left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , 
                                                                                            \eqno (5.35)
$$
$$
P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, coll}\, =
\, \frac{1+5\, \beta^{\, 2}}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 2}\, 
\left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , 
                                                                                            \eqno (5.36)
$$
$$
P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, norm}\, =
\, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 2}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , 
                                                                                            \eqno (5.37)
$$
$$
P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, coll}\, =
\, \frac{2}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , 
                                                                                            \eqno (5.38)
$$
$$
P_{\, norm}\, =
\, \frac{3-2\, \beta^{\, 2}}{3}\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, 
\gamma^{\, 4}\, \left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , 
                                                                                            \eqno (5.39)
$$
$$
P_{\, coll}\, =
\, (\, 1+\beta^{\, 2})\, \, \frac{e^{\, 2}}{m^{\, 2}\, c^{\, 3}}\, \, \gamma^{\, 2}\, 
\left(\, \frac{d\vec{p}}{dt}\, \right)^{\, 2}\, , 
                                                                                            \eqno (5.40)
$$
демонстрирующим, в частности, что  при заданной величине мгновенной силы, приложенной к частице, 
обладающей заданной величиной скорости, имеют место соотношения
$$
P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, norm}\, =\, 
\frac{1}{1+5\, \beta^{\, 2}}\, \, \gamma^{\, 2}\, P_{\mathcal{G}^{\, \ell}\, coll}\, ,             \eqno (5.41)
$$
$$
P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, norm}\, =\, 
\gamma^{\, 2}\, P_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}\, coll}\, ,                               \eqno (5.42)
$$
$$
P_{\, norm}\, =\, \frac{3-2\, \beta^{\, 2}}{\, 3\, (\, 1+\beta^{\, 2}\, )}\, \, 
\gamma^{\, 2}\, P_{\, coll}\, ,                                                             \eqno (5.43)
$$
показывающие, что каждая из данных мгновенных мощностей излучений релятивистской частицы при
поперечном её ускорении в $\sim\gamma^{\, 2}$\, раз превышает соответствующую мгновенную мощность
излучения при продольном её ускорении.

Соотношение (5.42) соответствует известному соотношению  мгновенных мощностей
электромагнитных излучений электрически заряженной частицы при поперечном и продольном ускорениях
этой частицы, при заданной величине мгновенной силы, приложенной к частице, движущейся с заданной величиной мгновенной скорости \cite{Jack}.


Следуя  \cite{La}, рассматрим далее элементарные мгновенные мощности, определяемые соотношением (4.1), представив соответствующие диаграммы направленности излучений таких мощностей для различных значений $\beta$, ограничиваясь, по-прежнему, двумя частными случаями, когда в момент излучения вектор $\dot{\vec{\beta}}$ коллинеарен вектору $\vec{\beta}$ и когда, в такой же момент времени, вектор $\dot{\vec{\beta}}$ нормален вектору $\vec{\beta}$.

 Как и прежде, в целях сопоставления, будем одновременно рассматривать такие диаграммы
 как для продольного электроджейтонного, так и для поперечного электромагнитоджейтонного излучений.

\subsection*{ 5.1. Диаграммы направленности элементарных мгновенных мощностей  излучений точечного  заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$.}

\addcontentsline{toc}{subsection}{ 5.1. Диаграммы направленности элементарных мгновенных мощностей  излучений точечного  заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$.}

%\setcounter{section}{5}
%\setcounter{figure}{0}

 \qquad
 В этом случае, последовательное использование соотношений (3.33), (3.43) и (3.53) в (4.1)
 приводит к следующим соотношениям, определяющим угловые распределения элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений, регистрируемых в точке наблюдения, в момент времени $t$.
$$
 dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{\cos^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, ,                \eqno (5.44)
$$
$$
 dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{\sin^{\, \, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, ,               \eqno (5.45)
$$
$$
 dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, .                    \eqno (5.46)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                           \eqno (5.47)
$$

Вновь отмечаем, что правая часть равенства (5.45) совпадает с правой частью соотношения 
\cite[(73.13)]{La}, определяющего элементарную мгновенную интенсивность электромагнитного излучения точечной электрически заряженной частицы в данном частном случае.

(5.44)\, --\, (5.46), в свою очередь, определяют следующие формулы  диаграмм направленности рассматриваемых элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений
 $$
 g(\theta, \, \beta)\, :=\, \frac{\cos^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}},    \eqno (5.48)
 $$
 $$
 f(\theta, \, \beta)\, :=\, \frac{\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}},    \eqno (5.49)
 $$
 $$
 t(\theta, \, \beta)\, :=\, \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}},    \eqno (5.50)
 $$
 графически представленные, для различных фиксированных значений $\beta$\, , на рис.\, 5.5\, --\, рис.\, 5.11.
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=100mm]{ris_01.jpg}
\vspace{+30pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=100mm]{ris_02.jpg}
\vspace{+30pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=110mm]{ris_03.jpg}
\vspace{+30pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=120mm]{ris_04.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

%\begin{figure}[!h]
%\begin{center}
%\vspace{-6pt}
%\includegraphics[width=90mm]{ris_12.jpg}
%\vspace{+20pt}
%\caption{}
%\end{center}
%\vspace{-1mm}
%\end{figure}
%\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_13.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_14.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=100mm]{ris_15.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\subsection*{ 5.2. Диаграммы направленности элементарных мгновенных мощностей  излучений точечного  заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, norm\, \vec{\beta}$.}

\addcontentsline{toc}{subsection}{ 5.2. Диаграммы направленности элементарных мгновенных мощностей  излучений точечного  заряда при $\dot{\vec{\beta}}\, norm\, \vec{\beta}$.}

%\setcounter{section}{5}
%\setcounter{figure}{0}

 \qquad
В этом случае, последовательное использование соотношений (3.33), (3.43) и (3.53) в (4.1) приводит к
следующим соотношениям определяющим угловые распределения элементарных мгновенных мощностей
рассматриваемых излучений регистрируемых в точке наблюдения в момент времени $t$\, .
$$
 dP_{\mathcal{G}^{\, \ell}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \frac{\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, \, d\, \Omega\, , 
                                                                                         \eqno (5.51)
$$
$$
 dP_{\mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}-\frac{(1-\beta^{\, 2})\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-
 \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\right)\, d\, \Omega\, , 
                                                                                             \eqno (5.52)
$$
$$
 dP\, =\, \frac{e^{\, 2}\, \dot{\vec{\beta}}^{\, \, 2}}{4\, \pi\, c}\, \, 
 \left(\frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}+\frac{\beta^{\, 2}\, \sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-
 \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\right)\, d\, \Omega\, , 
                                                                                             \eqno (5.53)
$$
$$
dP_{\, \mathcal{F}}\, =\, \frac{1}{2}\, dP_{\, \mathcal{F}\mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, =
\, dP_{\, \mathcal{G}_{d}^{\, t}}\, .                                                           \eqno (5.54)
$$

И вновь отмечаем совпадение правой части равенства (5.52) с правой частью соотношения  \cite[(73.14)]{La}\, , определяющего элементарную мгновенную интенсивность  электромагнитного излучения точечной
электрически заряженной частицы, когда, в момент излучения, скорость и ускорение этой частицы взаимно
перпендикулярны.

(5.51)\, --\, (5.53), в свою очередь, определяют следующие формулы диаграмм направленности рассматриваемых
элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений
$$
g(\theta, \varphi, \beta):=\, \frac{\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-
\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, ,                                                     \eqno (5.55)
$$
$$
f(\theta, \varphi, \beta):=\, \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}-
\frac{(1-\beta^{\, 2})\sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-
 \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, ,                                              \eqno (5.56)
$$
$$
t(\theta, \varphi, \beta):=\, \frac{1}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 4}}+
\frac{\beta^{\, 2}\, \sin^{\, 2}\theta\, \cos^{\, 2}\varphi}{(\, 1-
 \beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, .                                               \eqno (5.57)
$$

 В свою очередь, (5.55)\, --\, (5.57) приводят к  соотношениям определяющим
 угловые распределения рассматриваемых элементарных мгновенных мощностей рассматриваемых излучений
 в соприкасающейся плоскости $Q(t\, \acute{}\, )$\, ($\varphi=0$)\, , графически представленных, 
 для различных фиксированных значений $\beta$\, , на рис.5.12\, --\, рис.5.22.
 $$
g(\theta, \beta)\, :=\, g(\theta, 0, \beta)=\, \frac{\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1-
\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, ,                                                     \eqno (5.58)
$$
$$
f(\theta, \beta)\, :=\, f(\theta, 0, \beta)=\, \frac{(\, \cos\theta-\beta\, )^{\, 2}}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, , 
                                                                                      \eqno (5.59)
$$
$$
t(\theta, \beta)\, :=\, t(\theta, 0, \beta)=\, \frac{(\, \cos\theta-\beta\, )^{\, 2}+\sin^{\, 2}\theta}{(\, 1-\beta\, \cos\theta\, )^{\, 6}}\, .
                                                                                          \eqno (5.60)
$$

\newpage
 \begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=110mm]{ris_05.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=110mm]{ris_06.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=110mm]{ris_07.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=120mm]{ris_08.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=110mm]{ris_09.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=120mm]{ris_10.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=120mm]{ris_11.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage


%\begin{figure}[!h]
%\begin{center}
%\vspace{-6pt}
%\includegraphics[width=90mm]{ris_16.jpg}
%\vspace{+20pt}
%\caption{}
%\end{center}
%\vspace{-1mm}
%\end{figure}
%\newpage


%\begin{figure}[!h]
%\begin{center}
%\vspace{-6pt}
%\includegraphics[width=90mm]{ris_17.jpg}
%\vspace{+20pt}
%\caption{}
%\end{center}
%\vspace{-1mm}
%\end{figure}
%\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_18.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_19.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_20.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\vspace{-6pt}
\includegraphics[width=90mm]{ris_21.jpg}
\vspace{+20pt}
\caption{}
\end{center}
\vspace{-1mm}
\end{figure}
\newpage

Диаграммы направленности, представленные на рис.\, 5.5\, --\, рис.\, 5.8\, , совместно с соотношением (5.14), демонстрируют, что "\, к целому ряду необычных и интересных эффектов для релятивистских частиц\, " \cite{Jack} добавляется {\em эффект (явление)  доминантности продольного электроджейтонного излучения} таких частиц, по отношению к общеизвестному поперечному электромагнитоджейтонному излучению данных частиц.

Еще более  необычный и интересный  эффект доминантности продольного электроджейтонного излучения
ультрарелятивистских частиц демонстрируют, совместно с соотношением (5.31), диаграммы направленности, представленные на рис.\, 5.12\, --\, рис.\, 5.18.

Как следствие такой доминантности, имеем так же и "\, необычную"\, топологию диаграмм направленности, 
представленных на рис.\, 5.20\, --\, рис.\, 5.22.

Таким образом, как при $\dot{\vec{\beta}}\, coll\, \vec{\beta}$, так и при $\dot{\vec{\beta}}\, norm\, \vec{\beta}$, свойства излучения ультрарелятивистской точечной
электрически заряженной частицы доминантно определяются свойствами доминирующей составляющей, 
представленной продольным электроджейтонным излучением этой частицы.

Так как в каждый момент времени излучение точечной электрически заряженной частицы, совершающей
произвольное криволинейное движение, можно рассматривать так же и как когерентную суперпозицию
излучений, обусловленных нормальной и тангенциальной составляющими мгновенного ускорения этой частицы~\cite{Jack}, то рассматриваемая доминантность продольного электроджейтонного излучения
распространяется и на случай произвольного криволинейного движения такой частицы.
section{ Угловые распределения мгновенных мощностей излучения точечного электрического заряда}
section{Угловые распределения мгновенных мощностей излучения точечного электрического заряда}
%\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
%\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}

%\chapter{{III.Излучения простейших  систем электрических зарядов и токов.}


%\section*{ 5.3. Излучения простейших электрических систем.}




В заключение  автор вновь выражает глубокую признательность \\Боголюбову Н.Н. (ст.), Ширкову Д.В. и Блохинцеву Д.И. за стимулирующее обсуждение исходной  определяющей идеи рассматриваемой теории, а так же благодарит дирекцию Лаборатории Теоретической Физики Объединенного Института  Ядерных Исследований, за предоставленную, в прошлом, возможность выполнения, в данной Лаборатории, курсового (1968\, г.), а
затем и дипломного (1970\, г.)~\cite{Al7} проектов, в которых было представлено математическое обоснование вышеуказанной определяющей идеи  о {\em физическом} существовании классического поля, определяемого {\em симметрическим} производным 4-тензором классического электродинамического 4-потенциала, а так же продемонстрирован отличный от нуля вклад данного поля в тензор энергии–импульса произвольной классической электродинамической полевой системы и, тем самым, определена материальность этого поля.




Автор выражает так же глубокую признательность профессору РАН, доктору физико-математических наук Арбузову А.Б. (Лаборатория Теоретической Физики  Объединенного Института Ядерных Исследований (г. Дубна)), доктору физико-математических наук Залиханову Б.Ж. и кандидату  физико-математических наук Баранову В.А. (Лаборатория Ядерных Проблем Объединенного Института Ядерных Исследований (г.\, Дубна)) за проявленное внимание  к  обсуждаемым работам.


 Автор Выражает так же глубокую признательность  действительному члену АЭН\, ЧР, доктору
технических наук Нестерину В.А. за представление   к публикации работ автора \cite{Al2}, \cite{Al3} и \cite{Al5} в Трудах Академии Электротехнических Наук ЧР. 
\renewcommand{\refname}{Список литературы}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{BSh}
	{\em Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В.\/} Введение в теорию квантованных полей. -- М.: Наука, 1984.

\bibitem{Med}
{\em Медведев Б.В.\/} Начала теоретической физики. -- М.: Наука, 1977.
	
\bibitem{La}
	{\em Ландау Л.Д., Лиифшиц Е.М.\/} Теория поля. -- М.: Наука, 1967.


\bibitem{La1}
\cite{La}, \S\, 6, \S\, 23.

\bibitem{Rash}
{\em Рашевский П.К. \/} Риманова геометрия и тензорный анализ. -- М.: Наука, 1967.

\bibitem{Jack}
{\em Джексон Дж.\/} Классическая электродинамика.  -- М.: Мир, 1965.

\bibitem{Pob}
{\em Победря Б.Е. \/} Лекции по тензорному анализу. -- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

%\bibitem{Arr}
%{\em Эрроусмит Д., Плейс К.\/} Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. Пер. с англ.. -- М.: Мир, 1986.

 \bibitem{Bor}
{\em Борисенко А.И., Тарапов И.Е.\/} Векторный анализ и начала тензорного исчисления. -- М.: Изд-во "Высшая школа"\, , 1963.

\bibitem{Arn}
{\em Арнольд В.И.\/} Обыкновенные дифференциальные уравнения.  -- М.: Наука, 1984.

%\bibitem{ES}
% {\em W. Ehrenberg, R.E. Siday.\/} // Proc. Phys. Soc. (London) \underline{B62}, 8 (1949).

% \bibitem{AhB}
%{\em Y. Aharonov, D. Bohm.\/}// Phys. Rev. \underline{115}, 485 (1959); \underline{123}, 1511 (1961); \underline{130}, 1625 (1963).

%\bibitem{TMS}
%{\em A. Tonomura, T. Matsuda, R. Suzuki, at al.. \/}// Phys. Rev. Lett, \underline{48}, 1443 (1982).

%\bibitem{TOM}
% {\em A. Tonomura, N.Osahabe, T. Matsuda, at al..\/}// Phys. Rev. Lett, \underline{56}, 729 (1986).

%\bibitem{OMK}
% {\em N. Osahabe, T. Matsuda, T. Kawasaki \/}// Phys. Rev. A \underline{34}, 815 (1986).

\bibitem{Ko}
{\em Корн Г., Корн Т. \/} Справочник по математике для научных работников и инженеров. -- М.: Наука, 1984.

%\bibitem{LS}
%{\em Люстерник Л.А., Соболев В.И. \/} Элементы функционального анализа. -- М.: Наука, 1965.

%\bibitem{Gil}
%{\em Жилин П.А.\/} Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. -- М.: Мир, 1976.

\bibitem{Sed}
{\em Седов Л.И.\/} Механика сплошной среды. т. I. -- М.: Наука, 1983.
\bibitem{Nov}

{\em Новацкий В.\/} Теория упругости. Пер. с польск..-- М.: Мир, 1975, \S\, 2.8.

%\bibitem{Fich}
%{\em Фихтенгольц Г.М.\/} Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III.  -- М.: Наука, 1966.

\bibitem{Nem}
{\em Немыцкий В.В., Степанов В.В.\/} Качественная теория дифференциальных уравнений. -- Москва - Ижевск: НИЦ  "Регулярная и хаотическая динамика."\, , 2004.

\bibitem{Al1}
	{\em Алебастров Ю.А.\/} О теории векторного поля с симметрическими аффинорами. В кн.: Метастабильные состояния атомов и молекул и методы их исследований. -- Межвуз. сб., Чебоксары, 1981, с. 116\, -122.

\bibitem{Al2}
	{\em Алебастров Ю.А.\/} Теория векторного поля с симметрическими аффинорами. I. Классическое вещественное векторное поле в рамках стандартных методов. -- Труды академии электротехнических наук ЧР, 
№ 2, 2002.

\bibitem{Al3}
	{\em Алебастров Ю.А. \/} Теория векторного поля с симметрическими аффинорами. II. Квантование, пространство состояний и причинная функция. -- Труды академии электротехнических наук ЧР, № 2, 2003.

\bibitem{Al4}
  {\em Алебастров Ю.А.\/} Влияние продольных полей на динамику движения электрически заряженных частиц.
  В кн.: Аппаратура управления и автоматики. -- Труды ВНИИР, Чебоксары, 1987, с. 120\, -125.

\bibitem{Al6}
{\em Алебастров Ю.А.\/} К расчету электромагнитного излучения и помехоустойчивости систем.
В кн.: Устройства защиты и автоматики энергосистем. -- Труды ВНИИР, Чебоксары, 1984, с. 26\, -31.

\bibitem{Al5}
  {\em Алебастров Ю.А. \/} Теория векторного поля с симметрическими аффинорами. III. Классическое взаимодействие, калибровочная инвариантность и заключительные замечания к общей теории. -- Труды академии электротехнических наук ЧР. Материалы XII Республиканской научно-технической конференции молодых специалистов, 2015.

 \bibitem{Al0}
{\em  Alebastrov Yu.A.\/} On the theory of vector field with  symmetric affinors. Real vector field in the framework of the standard methods. -- arXiv:1602.07512v2 [physics.gen-ph] 22 May 2016.

\bibitem{Al7}
{\em Алебастров Ю.А.\/} Об симметрической части электромагнитного тензора. -- Дипломная работа автора, рецензент: Объединенный Институт  Ядерных Исследований, Лаборатория Теоретической Физики, Дубна, 1970.

\bibitem{Al8}
{\em  Алебастров Ю.А. \/} Явление продольного электроджейтонного излучения электрических систем.  //Госкомизобретений СССР, заявка на открытие под рег. № ОТ-11405 от 17.02.86.

\bibitem{Al9}
{\em  Алебастров Ю.А. \/} Явление силоваго воздействия джейтонного поля на движущиеся
электрически заряженные классические частицы.//~Госкомизобретений СССР, заявка на
открытие под рег. № ОТ-11404 от 17.02.86.

%\bibitem{Al10}
%См. так же [18], гл.V, (14.10).

%\bibitem{Al11}
%[18], гл.III, (3.32).

%\bibitem{Al12}
%[18], гл.III, (3.37).

%%[18], гл.V, (14.65).

%\bibitem{Al15}
%[18], гл.V, (14.8).

%\bibitem{Al16}
%[18], гл.IV, (5.3).

%\bibitem{Al17}
%[18], гл.V, (14.7).

\bibitem{Eis}
{\em Айзенберг Г.З.\/} Антенны ультракоротких волн. -- М.: Государственное издательство литературы по вопросам связи и радио, 1966.

%\bibitem{Ga}
%{\em Гантмахер Ф.Р.\/} Лекции по аналитической механике. -- М.: Наука, 1966.

%[2], \S\, 46.

%\bibitem{La3}
%[2], \S\, 63.

%\bibitem{La4}
%[2], \S\, 47.

%\bibitem{Jack1}
%[5], гл.14, \S\, 1.

%\bibitem{Al18}
%[18], гл.V, (14.27).

%\bibitem{Al19}
%[22], гл.IV, (14.27).


%\bibitem{Jack2}
%[5], гл.14, \S\, 4.

\bibitem{Jack3}
\cite{Jack}, гл.14, \S\, 3, (14.35).

%\bibitem{La5}
%[2], \S\, 31.

%\bibitem{Al20}
%[18], гл.IV, (1.14).

%\bigwedge\bibitem{Nov}
%{\em Новацкий В.\/} Теория упругости. Пер. с польск..-- М.: Мир, 1975, \S\, 2.8.

\bibitem{Nev}
{\em Невзглядов В.Г.\/} Теоретическая механика. -- М.: Государственное издательство физико\, -\, математической литературы, 1959, \S\, 41.

%\bibitem{Nem1}
%[11], гл.V, \S\, 1.

%\bibitem{Sed1}
%[10], гл.I, \S\, 2.

%\bibitem{Sed2}
%[10], гл.III, \S\, 1.

%\bibitem{Jack4}
%[5], гл.14, \S\, 2.

%\bibitem{Eis1}
%[29], \S\, 3.XXIII.

%\bibitem{Jack5}
%[5], гл. 9, \S\, 1.

%\bibitem{La6}
%[2], \S\, 67, \S\, 72.

%\bibitem{La7}
%[2], \S\, 66.

%\bibitem{Jack6}
%\cite{Jack}, гл. 14, \S\, 2.

%\bibitem{La8}
%[2], \S\, 6.

%\bibitem{Jack7}
%, гл. 14, \S\, 2, (14.26).

%\bibitem{Jack8}
%\cite{Jack}, гл.14, \S\, 3, (14.37).

%\bibitem{Nev1}
%[40], \S\, 8.

%\bibitem{La8}
%[2], \S\, 71, \S\, 72.

%\bibitem{Med}
%{\em Медведев Б.В.\/} Начала теоретической физики. -- М.: Наука, 1977.



%\bibitem{Itz}
%{\em Ициксон К., Зюбер Ж.-Б.\/} Квантовая теория поля. Пер. с англ.. -- М.: Мир, 1984.


%\subsection*{\S \, 3.} Примеры простейших излучающих систем электрических зарядов и токов.































































































































































































    % \bibitem{}
	%  {\em  \/}

\end{thebibliography}
	
%\renewcommand{\contentsname}{Оглавление}
%\tableofcontents

\setcounter{section}{2}
\section{Простейшие излучающие системы электрических зарядов и токов}

Как и в \cite[гл.9]{Jack} рассмотрим примеры простейших излучающих систем с простой геометрией распределения токов, такой что интеграл, определяющий векторный потенциал может быть найден в сравнительно простой замкнутой форме\cite[гл.9]{Jack} В качестве примера такой излучающей системы рассмотрим линейную электрическую антенну бегущей волны \cite[гл.X\S1]{Eis}, представленную сплошным, длинным по отношению к $\lambda$, прямолинейным, цилиндрическим проводником длинной $\ell$, находящимся в свободном пространстве(основная излучающая часть антенны Бевереджа, антенны ОБЕ-2 Харченко К.П.).
Такая антенна специфична тем что сдвиг фаз между напряжённостями полей излучения, созданными элементарными участками в направлении оси OZ\cite[рис.1.1.X.]{Eis}, при $V\rightarrow C$, стремится к нулю\cite[гл.X, \S1]{Eis}, создавая благоприятные условия для генерации излучения такой антенны в направлении данной оси.
Пусть проводник расположен вдоль оси OZ, сонаправленный с направлением распространения бегущей волны тока в нём, а начало проводника находится в начале оси OZ (рис.3.23? см.также рис.\cite[рис.1.2.X.]{Eis}).
\\

\begin{figure}[H]
	\begin{center}
		\vspace{0pt}
		\includegraphics[width=80mm]{Ris_1_Serg.png}
		\vspace{-2pt}
		\caption{К выводу формул диаграмм направленности излучений линейной, электрической антенны бегущей волны.}
	\end{center}
\end{figure}


Данная антенна специфична по отношению к известным линейным электрическим вибраторам \cite[гл.VII, \S1]{Eis}
тем, что излучения, генерируемые любыми элементарными участками такой антенны в направлении оси OZ, при $v\rightarrow C$(v-фазовая скорость бегущей волны тока в проводнике), оказываются синфазными\cite[гл.X, \S1]{Eis}, создавая благоприятные условия для генерации продольных электроджейтонных волн, генерируемых такой антенной в направлении данной оси.
 Симметрическая поверхностная волна\cite[рис.1.10. IV]{Eis}, распространяющаяся вдоль проводника, как и любая другая поверхностная волна, специфична ещё и значительной концентрацией энергии полей поверхностной волны вблизи провода, способствуя увеличению концентрации энергии излучения в направлении данной оси. \cite[гл.IV\S10]{Eis}
   Асимптотическое выражение запаздывающего векторного потенциала, $\vec{A}$($\vec{r}$, t) \cite[гл.II.\S1]{Med}, генерируемого такой антенной, при коэффициенте затухания $\beta=0$, при полном отсутствии отражений на концах антенны и при $ V\rightarrow C $, определяется, согласно \cite[гл.X, \S2]{Eis} соотношением

\begin{equation}\label{blablabla}
  \vec{A}(\vec{r}, t) = \frac{I_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t}}{cr} \int_{0}^{l} e^{-ikz(\cos\theta -1)} dz :=B_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t'} \int_{0}^{l} e^{-ikz(\cos\theta -1)} dz
  \tag{1}
\end{equation}

\begin{equation}\label{blablabal}
  t'=t-r/c
  \tag{1.1}
\end{equation}

\begin{equation}\label{blablabal}
  B_0:=\frac{I_0}{cr}
  \tag{1.2}
\end{equation}

После вычисления интеграла правлой части данное равенство принимает вид:

\begin{equation}\label{blablabla}
  \vec{A}(\vec{r}, t) =B_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t'} i \frac{e^{-ikl(\cos \theta -1)}-1}{k(\cos \theta -1)}
  \tag{2}
\end{equation}

приводящий к выражению для напряженности электрического поля, сопровождающего электроджейтонное поле излучающей антенны в данный момент времени

\begin{equation}\label{blablabla}
   \vec{E_A}(\vec{r}, t) =-ik\vec{A}(\vec{r}, t) =B_0 \vec{e_z} e^{-i\omega t'} \frac{e^{-ikl(\cos \theta -1)}-1}{\cos \theta -1}
  \tag{3}
\end{equation}

Соотношение (3) приводит к следующему выражению

\begin{equation}\label{blablabla}
   \vec{E_A^l}(\vec{r}, t) = \vec{n}(\vec{E_A}\cdot \vec{n}) = \vec{n} \cos \theta B_0 e^{-i\omega t'} \frac{e^{-ikl(\cos \theta -1)}-1}{\cos \theta -1}, 
  \tag{4}
\end{equation}

использование которой приводит к выражению для среднего элементарного потока мощности продольного электроджейтонного излучения данной антенны в момент времени $t$

\begin{equation}\label{blablabla}
  dP_{G^l} = \vec{S_{G^l}}\cdot \vec(n)
  \tag{4.1}
\end{equation}

согласно (3.7) и (4.1):

\begin{equation}\label{blablabla}
  \vec{S_{G^l}} = \frac{c}{4\pi} \overline{(E^l_A)^2} \cdot \vec{n} \Rightarrow \vec{dP_{G^l}} = \frac{c}{8\pi} R_l(\vec{E^l_A} \cdot \vec{E^l_A}^*)r^2 d\Omega
  \tag{5}
\end{equation}

подстановка (4) в (5) приводит к равенству

\begin{equation}\label{blablabla}
  \vec{dP_{G^l}} = \frac{I_0^2}{2\pi c} \frac{\cos^2 \theta \cdot \sin^2 (\frac{kl}{2}(\cos \theta -1))}{(cos \theta -1)^2} d\Omega , 
  \tag{6}
\end{equation}

принимающим при $l = n \lambda$ вид:

\begin{equation}\label{blablabla}
  \vec{dP_{G^l}} = \frac{I_0^2}{2\pi c} \frac{\cos^2 \theta \cdot \sin^2 (\pi n(\cos \theta -1))}{(cos \theta -1)^2} d\Omega , 
  \tag{7}
\end{equation}

определяющий формулу диаграммы направленности излучения средней по времени мощности продольного электроджейтонного излучения данной антенны

\begin{equation}\label{blablabla}
  g(\theta , n) = \left( \frac{\cos \theta \cdot \sin (\pi n(\cos \theta -1))}{(cos \theta -1)} \right) ^2 .
  \tag{8}
\end{equation}

Диаграммы направленности, определяемые данным соотношением, представлены на рис. 3.24:

\begin{figure}[H]
	\begin{center}
		\vspace{0pt}
		\includegraphics[width=140mm]{Ris_22.png}
		\vspace{-2pt}
		\caption{Диаграммы направленности.}
	\end{center}
\end{figure}

\end{document} 
